母分散が未知のときの信頼区間

統計学の復習　第10章 §10.4　★★★ $\bar x\pm t_{n-1}(\alpha/2)\,s/\sqrt n$。$z$ を $t$ に、$\sigma$ を $s$ に取り替える2か所が同時に起こり、自由度は $n-1$

t 分布による区間

系 10.6 の $T$ はピボットなので、§10.1 と同じ手順で区間を作ることができる。$c=t_{n-1}(\alpha/2)$ と置くと $P(-c\le T\le c)=1-\alpha$ で、括弧の中を $\mu$ について解くと

$$-c\le\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\le c\iff\bar X-c\frac{S}{\sqrt n}\le\mu\le\bar X+c\frac{S}{\sqrt n}$$

となる。同値変形は §10.1 と同じで、$\sigma$ が $S$ に変わっただけである（$S>0$ なので不等号の向きは変わらない）。

3部品で見ると、点推定値は $\bar x$ のまま、臨界値が $z_{\alpha/2}$ から $t_{n-1}(\alpha/2)$ に、標準誤差が $\sigma/\sqrt n$ から推定した標準誤差 $s/\sqrt n$ に変わる。$\sigma$ を $s$ に置き換えたことと、臨界値を $t$ に変えたことは対になっている。$s$ のぶれによって $T$ の裾が厚くなる分を、大きな臨界値で埋め合わせて、信頼係数を $1-\alpha$ に保っている。$\sigma$ を $s$ に置き換えたまま $z_{\alpha/2}$ を使うと、信頼係数は $1-\alpha$ を下回る（確認テスト 10.4-4）。

区間 (10.12) の幅 $2t_{n-1}(\alpha/2)S/\sqrt n$ は、式 (10.4) と違って $S$ を含むので、標本ごとに変わる確率変数である（図 10.1）。そのため、半幅を確実に $e_0$ 以下にする $n$ を、式 (10.5) のように調査前に決めることはできない。実務では、予備調査の $s$ を $\sigma$ の代わりに式 (10.5) に入れて目安を出す。

t と z の使い分け

どちらを使うかは、母分散が既知か未知かの一点で決まる。問題文に「母標準偏差」「過去の記録から標準偏差が分かっている」とあれば既知で $z$、「標本標準偏差」「不偏分散」「不偏分散の平方根」が与えられていれば、標本から推定しているので未知で $t_{n-1}$ である。母集団が正規分布でなくても $n$ が大きいときは、中心極限定理と「$S$ が $\sigma$ に確率収束する」ことから $(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)$ の分布が $\mathrm N(0,1)$ で近似され、$\bar x\pm z_{\alpha/2}\,s/\sqrt n$ を近似の区間として使う。正規母集団で $n$ が大きい場合は、$t_{n-1}(\alpha/2)$ が $z_{\alpha/2}$ に近い（$t_{29}(0.025)=2.045$、$t_{99}(0.025)=1.984$）ので、どちらを使ってもほぼ同じ区間になる。この近似の根拠の Slutsky の定理は数理統計の解説 第5章 §5.3 で扱う。

さまざまな t の区間

信頼係数を変えるときは列を変え、片側の限界は $t_{n-1}(\alpha)$ を使う。下側信頼限界は $\bar X-t_{n-1}(\alpha)S/\sqrt n$、上側信頼限界は $\bar X+t_{n-1}(\alpha)S/\sqrt n$ で、どちらも信頼係数は $1-\alpha$ である。導き方は式 (10.6) の $Z$ を $T$ に、$z_\alpha$ を $t_{n-1}(\alpha)$ に取り替えるだけである。

確認テスト

オリジナル

1. 10.4-1 次の各場合に、母平均の $95\%$ 区間の臨界値として $z_{0.025}$ と $t_\nu(0.025)$ のどちらを使うか答え、$t$ なら自由度も答えよ。(a) 正規母集団で母標準偏差が既知、$n=12$。(b) 正規母集団で母分散が未知、$n=12$。(c) 分布の形は分からず母分散も未知、$n=400$。
2. 10.4-2 正規母集団からの大きさ $9$ の標本で、標本平均が $48.2$、不偏分散の平方根が $3.6$ であった。母平均の $95\%$ 信頼区間を求めよ（$t_8(0.025)=2.306$）。
3. 10.4-3 正規母集団から得た5個のデータ $3.2,\ 2.8,\ 3.6,\ 3.0,\ 3.4$ から、母平均の $95\%$ 信頼区間を求めよ（$t_4(0.025)=2.776$）。
4. 10.4-4 (i) 正規母集団について、区間 (10.12) が $\mu$ を含む事象が $\{\lvert T\rvert \le t_{n-1}(\alpha/2)\}$ と一致することを示し、信頼係数が厳密に $1-\alpha$ であることを示せ。(ii) $n=5$ で、区間 (10.12) の臨界値を誤って $1.960$ にしたとき、その区間が $\mu$ を含む確率は $P(\lvert T\rvert \le1.960)$（$T\sim t_4$）である。$P(T\le1.960)=0.9392$ を使ってこの確率を求めよ。