確認テストの解答

統計学の復習　第9章 §9.6

§9.1 点推定とは

1. 9.1-1 (a)(c)(e) が統計量。(b)(d) は未知の $\mu$ を含むので、データが得られても値が計算できず、統計量ではない。
2. 9.1-2 $E[X_1]=\mu$ なので不偏である。$X_1\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ なので、任意の $\varepsilon>0$ について$P(\lvert X_1-\mu\rvert \ge\varepsilon)=2\{1-\Phi(\varepsilon/\sigma)\}$ で、これは $n$ によらない正の定数である。$n\to\infty$ で $0$ に近づかないので、一致推定量ではない。標本を増やしても、使っているのは最初の1個だけである。
3. 9.1-3 $E[T_n]=\mu+\frac1n$ なので偏りは $\frac1n\ne0$ で、不偏ではない。$V[T_n]=V[\bar X]=\frac{\sigma^2}{n}$ なので$\mathrm{MSE}(T_n)=\frac{\sigma^2}{n}+\frac1{n^2}\to0$。命題 9.5 により一致推定量である。
4. 9.1-4 (9.1) から $\mathrm{MSE}(\hat\theta)=v+b^2$。$E[\hat\theta]=\theta+b$ なので$E[\hat\theta^2]=V[\hat\theta]+(E[\hat\theta])^2=v+(\theta+b)^2$。$b=0$ でも $E[\hat\theta^2]=\theta^2+v>\theta^2$（$v>0$）となり、$\hat\theta^2$ は $\theta^2$ の不偏推定量にならない。

§9.2 母平均の点推定と推定量・推定値

1. 9.2-1 (a) 正しい。$\bar X$ は確率変数 $X_1,\dots,X_n$ の関数である。(b) 誤り。$\bar x=52.3$ は定数なので分散は $0$ である。分散 $\sigma^2/n$ をもつのは確率変数 $\bar X$ である。(c) 誤り。期待値の線形性は独立でなくても成り立つ。独立性（共分散が $0$）が要るのは $V[\bar X]=\sigma^2/n$ の方である。
2. 9.2-2 重みの和は $(1+2+3)/6=1$ なので $E[T]=\mu$。$V[T]=\frac{1+4+9}{36}\sigma^2=\frac{7}{18}\sigma^2$ で、$V[\bar X]=\frac{\sigma^2}{3}=\frac{6}{18}\sigma^2$ より大きい（比は $7/6$）。命題 9.6 の結果と合っている。
3. 9.2-3 (a) $E[X_i]=V[X_i]=\lambda$ なので、(9.2) から $E[\bar X]=\lambda$、$V[\bar X]=\lambda/n$。(b) $I_i$ を「$X_i=0$ なら $1$、そうでなければ $0$」とおくと、$N_0=\sum I_i$ で、$I_i$ は独立に成功確率 $q=e^{-\lambda}$ のベルヌーイ分布に従う。よって $N_0\sim\mathrm{Bin}(n,q)$ で、$E[N_0/n]=q=e^{-\lambda}$、$V[N_0/n]=\frac{e^{-\lambda}(1-e^{-\lambda})}{n}$。
4. 9.2-4 $E[T]=\mu$ は $c$ によらない。独立なので $V[T]=c^2v_1+(1-c)^2v_2$。$c$ で微分して $0$ とおくと $2cv_1-2(1-c)v_2=0$、$c=\frac{v_2}{v_1+v_2}$。このとき $1-c=\frac{v_1}{v_1+v_2}$ で

$$V[T]=\frac{v_2^2v_1+v_1^2v_2}{(v_1+v_2)^2}=\frac{v_1v_2(v_1+v_2)}{(v_1+v_2)^2}=\frac{v_1v_2}{v_1+v_2}.$$

$\frac{v_1v_2}{v_1+v_2}=v_1\cdot\frac{v_2}{v_1+v_2}<v_1$、同様に $<v_2$。逆数で書くと $\frac1{V[T]}=\frac1{v_1}+\frac1{v_2}$ で、分散の逆数（精度）が足し算になる。

§9.3 標本分散と不偏分散

1. 9.3-1 偏差平方和を $w$ とすると $s^2-\hat\sigma^2=w\bigl(\frac1{n-1}-\frac1n\bigr)=\frac{w}{n(n-1)}=\frac{\hat\sigma^2}{n-1}\ge0$。等号は $w=0$、すなわちすべてのデータが等しいときに限る。
2. 9.3-2 $\bar x=5$。偏差平方和は $\sum x_i^2-n\bar x^2=290-250=40$。$\hat\sigma^2=40/10=4$、$s^2=40/9\approx4.444$。
3. 9.3-3 ヒントの恒等式は、$(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$ を $\{(X_i-\mu_X)-(\bar X-\mu_X)\}\{(Y_i-\mu_Y)-(\bar Y-\mu_Y)\}$ と展開し、$\sum(X_i-\mu_X)=n(\bar X-\mu_X)$、$\sum(Y_i-\mu_Y)=n(\bar Y-\mu_Y)$ を使えば得られる。期待値をとると、第1項は $n\gamma$ である。第2項は $nE[(\bar X-\mu_X)(\bar Y-\mu_Y)]=n\,\mathrm{Cov}(\bar X,\bar Y)$ で、$\mathrm{Cov}(\bar X,\bar Y)=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}\mathrm{Cov}(X_i,Y_j)=\frac{1}{n^2}\cdot n\gamma=\frac{\gamma}{n}$（$i\ne j$ の項は独立なので $0$）。よって期待値は $n\gamma-\gamma=(n-1)\gamma$。$n-1$ で割った不偏共分散は $\gamma$ の不偏推定量である。
4. 9.3-4 $E[\bar X^2]=V[\bar X]+(E[\bar X])^2=\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2$ で、$\sigma^2>0$ なら $\mu^2$ より大きいので不偏でない。$E[S^2/n]=\sigma^2/n$ なので $E[\bar X^2-S^2/n]=\mu^2+\frac{\sigma^2}{n}-\frac{\sigma^2}{n}=\mu^2$。ただしこの推定量は負の値をとることがあり、$\mu^2\ge0$ の推定値としては不自然な値になる場合がある。

§9.4 標準偏差と標準誤差

1. 9.4-1 $s=4$ なので $s/\sqrt n=4/8=0.5$。$16/8=2$ とするのは $s^2$ と $s$ の取り違えである。
2. 9.4-2 母集団の平均は $1$、分散は $\sigma^2=E[(X-1)^2]=1$。$S^2=(X_1-X_2)^2/2$ は、$X_1=X_2$（確率 $1/2$）のとき $0$、$X_1\ne X_2$（確率 $1/2$）のとき $4/2=2$ である。$E[S^2]=\frac12\cdot0+\frac12\cdot2=1=\sigma^2$。$S$ は $0$ か $\sqrt2$ なので $E[S]=\frac{\sqrt2}{2}\approx0.707<1=\sigma$。
3. 9.4-3 $\varphi(x)=1/x$ は $x>0$ で $\varphi''(x)=2/x^3>0$ なので下に凸である。定理 9.11 から $E[1/X]\ge1/E[X]$。$\bar X$ に使うと $E[1/\bar X]\ge1/E[\bar X]=1/\mu$ で、$\bar X$ が定数でない限り（$\sigma>0$ なら）等号は成り立たない。したがって $1/\bar X$ は $1/\mu$ を大きめに推定し、不偏推定量にならない。
4. 9.4-4 $s$ は母標準偏差 $\sigma$ の推定値、$s/\bar x$ は母集団の変動係数の推定値なので、どちらも $n$ によってはほぼ変わらない（標本によるぶれはある）。推定した標準誤差は $s/\sqrt n$ で、$n$ が $4$ 倍なので約 $1/2$ になる。
5. 9.4-5 $\sqrt{p(1-p)/n}\le0.015$ は $n\ge p(1-p)/0.000225$ と同値である。$p=0.2$ なら $n\ge0.16/0.000225=711.1\cdots$ で、$n=712$。$p$ が分からなければ $p(1-p)\le1/4$ を使って $n\ge0.25/0.000225=1111.1\cdots$ で、$n=1112$。サンプルサイズは切り上げる。