確認テストの解答

数理統計　第1章 §1.5

§1.1 事象と確率

1. 1.1-1 加法定理から $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$。$P(A\cup B)\le1$ を使えば $P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1$。
2. 1.1-2 加法定理から $P(A\cap B)=0.5+0.4-0.7=0.2$。事象 $A$ は排反な和 $(A\cap B)\cup(A\cap B^c)$ に分かれる。よって $P(A\cap B^c)=0.5-0.2=0.3$。de Morgan の法則から $A^c\cap B^c=(A\cup B)^c$ なので $P(A^c\cap B^c)=1-0.7=0.3$。
3. 1.1-3 玉に番号をつけると、3個の組 $\binom{10}{3}=120$ 通りが等確率である。(1.4) から$P(\text{赤が2個})=\binom42\binom61/120=6\cdot6/120=36/120=0.3$。赤が1個もない組は白6個から3個を選ぶ $\binom63=20$ 通りなので、補集合を使って $P(\text{赤が少なくとも1個})=1-20/120=5/6$。
4. 1.1-4 $A_1\supset A_2\supset\cdots$ なら、補集合 $A_1^c\subset A_2^c\subset\cdots$ は増加列である。de Morgan の法則から $\bigcup_nA_n^c=(\bigcap_nA_n)^c=A^c$。定理1.4 の 1 から

$$P(A^c)=\lim P(A_n^c),\quad\text{つまり}\quad 1-P(A)=\lim\{1-P(A_n)\}=1-\lim P(A_n).$$

よって $P(A)=\lim P(A_n)$。5. 1.1-5 根元事象は $n$ 人の誕生日の列で $365^n$ 通りが等確率である。全員の誕生日が異なる列は $365\cdot364\cdots(365-n+1)$ 通りなので、補集合を使って

$$P(\text{少なくとも2人が一致})=1-\prod_{k=0}^{n-1}\frac{365-k}{365}.$$

$n=23$ では積が 0.4927 になり、求める確率は 0.5073 である。

§1.2 条件付き確率と事象の独立性

1. 1.2-1 不良である事象を $F$ とする。工場 A・B・C は分割なので、全確率の公式から$P(F)=0.5\times0.01+0.3\times0.02+0.2\times0.03=0.005+0.006+0.006=0.017$。Bayes の定理から $P(\mathrm A\mid F)=0.005/0.017=5/17\approx0.2941$。A の製品は全体の半分あるが、不良品の中では3割弱になる。

2. 1.2-2 定義から $P(A\mid B)>P(A)\iff P(A\cap B)/P(B)>P(A)\iff P(A\cap B)>P(A)P(B)$（$P(B)>0$ を掛けた）。同様に $P(B\mid A)>P(B)\iff P(A\cap B)>P(A)P(B)$。両者は同じ不等式に同値なので、互いに同値である。

3. 1.2-3 $P(A)=P(B)=P(C)=1/2$。$A\cap B=A\cap C=B\cap C=\{1\}$ なので、どの2つの積も確率 $1/4=\frac12\cdot\frac12$ で、対ごとに独立である。一方 $A\cap B\cap C=\{1\}$ で確率は 1/4 だが、$P(A)P(B)P(C)=1/8$ なので相互には独立でない。

4. 1.2-4 賞品が扉 $j$ にある事象を $G_j$ とする。司会者が扉3を開ける事象を $H_3$ とする。条件付き確率は次のとおりである。

   • $P(H_3\mid G_1)=1/2$。扉2・3のどちらにも賞品がない。
   • $P(H_3\mid G_2)=1$。扉2は開けられない。
   • $P(H_3\mid G_3)=0$。

全確率の公式と Bayes の定理から

$$P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot1+0=\tfrac12,\qquad P(G_2\mid H_3)=\frac{\frac13\cdot1}{\frac12}=\frac23.$$

最初に選んだ扉1に賞品がある条件付き確率は $\frac{\frac13\cdot\frac12}{\frac12}=\frac13$ である。扉2へ選び直すと当たる確率が2倍になる。5. 1.2-5 $A$ が自分自身と独立とは、$P(A\cap A)=P(A)^2$ である。左辺は $P(A)$ なので、条件は $P(A)=P(A)^2$ となる。これは $P(A)\{1-P(A)\}=0$ と同値で、確率が 0 または 1 であることを意味する。逆にどちらかなら $P(A)=P(A)^2$ が成り立つ。

§1.3 発展的事項

1. 1.3-1 $\sum1/n^2=\pi^2/6<\infty$ なので、Borel–Cantelli の補題の 1 から $P(\limsup A_n)=0$（独立性は使わない）。$P(A_n)=1/n$ のときは $\sum1/n=\infty$ で、事象は独立である。補題の 2 から $P(\limsup A_n)=1$。
2. 1.3-2 各 $B_k$ は互いに重ならない2回分の投げで決まる。よって $B_1,B_2,\dots$ は独立で、$P(B_k)=1/4$ である。$\sum_kP(B_k)=\infty$ なので、Borel–Cantelli の補題の 2 から確率は 1。
3. 1.3-3 $r_3=3/10$。$D_i=i(N-i)$（例題1.5）から $D_3=3\times7=21$ 回。
4. 1.3-4 $\rho=0.4/0.6=2/3$。

$$r_2=\frac{1-(2/3)^2}{1-(2/3)^5}=\frac{5/9}{211/243}=\frac{5\cdot27}{211}=\frac{135}{211}\approx0.6398 .$$

$N\to\infty$ では $\rho^N\to0$ である。よって $r_2\to1-\rho^2=5/9$。

この極限は「所持金 $N$ に先に到達する」確率の極限である。上限なしに賭け続けたとき、一度も 0 にならない確率と解釈できる。有利な賭け（$p>1/2$）でも、所持金 2 から始めると確率 $1-5/9=4/9$ で破産する。5. 1.3-5 1回目で場合分けすると、次の漸化式と境界条件を得る。

$$s_i=p\,s_{i+1}+q\,s_{i-1}\quad(0<i<N),\qquad s_0=1,\quad s_N=0.$$

$t_i=1-s_i$ とおくと、$p+q=1$ を使って定数項が消え、次のようになる。

$$t_i=p\,t_{i+1}+q\,t_{i-1},\qquad t_0=0,\quad t_N=1.$$

これは $r_i$ の漸化式 (1.13) と境界条件に一致する。漸化式と境界条件をみたす数列は一つに決まる（定理1.16 の証明で $r_1$ が一意に決まったことによる）。よって $t_i=r_i$、つまり $r_i+s_i=1$。具体的には

$$s_i=1-\frac{1-\rho^i}{1-\rho^N}=\frac{\rho^i-\rho^N}{1-\rho^N}$$

である。$r_i+s_i=1$ は、ゲームが終わらない確率が 0 であることを意味する。