発展的事項

数理統計　第8章 §8.3　★★ 最短の区間の条件、検出力と結びつく一様最精密性、予測区間、工程能力指数の区間。応用・理工学でも使う

この節では、1級の範囲で使う4つの話題を選んだ。最短の区間を与える分位点の条件、一様最精密な信頼限界と最強力検定の関係、将来の観測値に対する予測区間、品質管理で使う工程能力指数 $C_p$ の信頼区間である。

最短の信頼区間

枢軸量 $Q$ の分布が決まっても、確率 $1-\alpha$ の区間の取り方は1通りでない。分布の両裾に $\alpha/2$ ずつ残す等裾の取り方が慣例だが、長さが最短になるとは限らない。

証明

単峰性から、区間 $[a,b]$ の上では $f\ge f(a)$ である。その外側では密度が $f(a)$ 以下である。

$b'-a'<b-a$ となる $[a',b']$ があったとして矛盾を導く。$a'\le a$ の場合を考える（逆の場合は左右を入れ替えて同じ議論になる）。このとき $b'<b$ である。

1. (i) $b'\le a$ の場合。区間 $[a',b']$ は $a$ の左側にある。そこでは密度が $f(a)$ 以下なので次の矛盾が出る。

$$\int_{a'}^{b'}f\le f(a)(b'-a')<f(a)(b-a)\le\int_a^bf=1-\alpha$$ 2. (ii) $a<b'<b$ の場合。積分を次のように分ける。

$$\int_{a'}^{b'}f=\int_a^bf+\int_{a'}^af-\int_{b'}^bf$$

右辺の2つの積分を評価する。

$$\begin{aligned}\int_{a'}^af&\le f(a)(a-a') &&\text{（}{[a',a]}\text{ は }{[a,b]}\text{ の外）}\\ &<f(a)(b-b') &&\text{（}{b'-a'<b-a}\text{ と }{b-b'>a-a'}\text{ は同値）}\\ &\le\int_{b'}^bf &&\text{（}{[b',b]\subset[a,b]}\text{）}\end{aligned}$$

よって $\int_{a'}^{b'}f<1-\alpha$ となり矛盾する。

この定理によれば、長さを最小にする条件は両端で密度が等しいことである。Lagrange の未定乗数法でも同じ条件が出る。次の関数を $a,b$ で微分すればよい。

$$b-a-\lambda\{F(b)-F(a)-(1-\alpha)\}$$

停留条件 $1=\lambda f(b),\ 1=\lambda f(a)$ から $f(a)=f(b)$ を得る。$t$ 分布や標準正規分布のように 0 について対称な単峰の密度なら、この条件は $a=-b$ を意味する。よって等裾の区間が最短である。

最短にしたいのが $Q$ の区間でなく母数の区間である場合は、条件が変わる。$\chi^2_{n-1}$ の下端・上端を $a,b$ とする。正規分散の区間 (8.5) の長さは $(n-1)S^2(1/a-1/b)$ である。次の関数を微分する。

$$1/a-1/b-\lambda\{F(b)-F(a)-(1-\alpha)\}$$

停留条件は $a^{-2}=\lambda f(a),\ b^{-2}=\lambda f(b)$ なので

$$a^2f(a)=b^2f(b),\qquad F(b)-F(a)=1-\alpha\tag{8.11}$$

が最短の条件になる（$f,F$ は $\chi^2_{n-1}$ の密度と分布関数）。

一様最精密な信頼限界

§8.1 の2番目の物差し「誤った値を含む確率」を、検定の反転（定理 8.4）と組み合わせる。

証明

$C$ の信頼係数は定理 8.4 から従う。次に $A^*(\theta_0)=\{\bm x:\theta_0\in C^*(\bm x)\}$ とおく。定理 8.4 の後半から、これを受容域とする検定は有意水準 $\alpha$ である。

真の値 $\theta>\theta_0$ では、一様最強力検定の検出力がこの検定の検出力以上なので

$$1-P_\theta(\bm X\in A(\theta_0))\ge1-P_\theta(\bm X\in A^*(\theta_0)).$$

両辺を書き直すと $P_\theta(\theta_0\in C(\bm X))\le P_\theta(\theta_0\in C^*(\bm X))$ である。

真の値より小さい $\theta_0$ を含む確率を最小にするので、得られる区間は $[L(\bm X),\infty)$ の形の下側信頼限界になる。例として正規平均（分散既知）を考える。第7章の Neyman–Pearson の補題から、対立仮説 $H_1:\mu>\mu_0$ の一様最強力検定は次のとき棄却する。

$$\bar X>\mu_0+z_\alpha\sigma/\sqrt n$$

これを反転した $[\bar X-z_\alpha\sigma/\sqrt n,\ \infty)$ が、一様最精密な下側信頼限界である。

両側の区間については、一様最精密なものは一般に存在しない。そこで不偏性（誤った値を含む確率が真の値を含む確率以下）の制約を課した中で、最精密なものを考える。

予測区間

ここまでの区間は母数を対象にしていた。品質管理や回帰では、次に観測される値 $X_{n+1}$ が入る区間がほしい場面がある。

$X_1,\dots,X_n,X_{n+1}$ を $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ からの独立な標本とする。前の $n$ 個から標本平均と不偏分散 $S^2$ を作る。最後の1個が予測の対象である。すると

$$X_{n+1}-\bar X\sim\mathrm{N}\bigl(0,\ \sigma^2(1+1/n)\bigr)$$

であり、これは $S^2$ と独立である。新しい観測値も標本平均も、不偏分散と独立だからである。したがって

$$\frac{X_{n+1}-\bar X}{S\sqrt{1+1/n}}\sim t_{n-1},$$

である。よって

$$P\Bigl(\lvert X_{n+1}-\bar X\rvert \le t_{n-1}(\alpha/2)S\sqrt{1+1/n}\Bigr)=1-\alpha$$

から、$X_{n+1}$ の $100(1-\alpha)\%$ 予測区間

$$\bar X\pm t_{n-1}(\alpha/2)\,S\sqrt{1+\frac1n}\tag{8.12}$$

を得る。信頼区間 (8.4) との違いは根号の中の 1 である。標本を増やしても半幅は 0 にならず、$z_{\alpha/2}\sigma$ に近づく。母数の不確かさは標本を増やせば消えるが、次の観測値そのもののばらつき $\sigma^2$ は消えないからである。

ここで確率 $1-\alpha$ は、$X_1,\dots,X_{n+1}$ の同時分布について計算したものである。標本平均と新しい観測値の両方が動くことを含んでいる。

工程能力指数の信頼区間

製品の特性値が規格の下限 $L_s$ と上限 $U_s$ の間に入るべきとき、工程のばらつきの小ささを

$$C_p=\frac{U_s-L_s}{6\sigma}$$

で測り、工程能力指数と呼ぶ。$C_p=1$ は規格幅がちょうど $\pm3\sigma$ に当たることを意味する。母標準偏差を $S$ で推定した推定量 $\hat C_p=(U_s-L_s)/(6S)$ を使う。$\hat C_p/C_p=\sigma/S$ なので、

$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=(n-1)\frac{C_p^2}{\hat C_p^2}\sim\chi^2_{n-1}$$

が $C_p$ の枢軸量になる。これは母数について狭義増加なので、次の不等式を解く。

$$\chi^2_{n-1}(1-\alpha/2)\le(n-1)\frac{C_p^2}{\hat C_p^2}\le\chi^2_{n-1}(\alpha/2)$$

すると

$$C_p\in\Bigl[\hat C_p\sqrt{\frac{\chi^2_{n-1}(1-\alpha/2)}{n-1}},\ \hat C_p\sqrt{\frac{\chi^2_{n-1}(\alpha/2)}{n-1}}\Bigr]\tag{8.13}$$

を得る。品質保証では「$C_p$ が少なくともいくら以上か」を言いたいことが多いので、片側の下側信頼限界$\hat C_p\sqrt{\chi^2_{n-1}(1-\alpha)/(n-1)}$ もよく使う。

デルタ法による近似も作っておく。$\log\hat C_p=\text{定数}-\frac12\log S^2$ と $V[S^2]=2\sigma^4/(n-1)$ から、順に次を得る。

$$\begin{aligned}V[\log S^2]&\approx V[S^2]/\sigma^4=2/(n-1) &&\text{（デルタ法）}\\ V[\log\hat C_p]&\approx1/\{2(n-1)\} &&\text{（係数 }{-\tfrac12}\text{ の2乗を掛けた）}\\ V[\hat C_p]&\approx C_p^2/\{2(n-1)\} &&\text{（もう一度デルタ法）}\end{aligned}$$

近似区間は $\hat C_p\{1\pm z_{\alpha/2}/\sqrt{2(n-1)}\}$ である。

確認テスト

オリジナル

1. 8.3-1 正規平均（分散未知）の $t$ 区間 (8.4) を考える。等裾の分位点 $\pm t_{n-1}(\alpha/2)$ が、確率 $1-\alpha$ の区間の中で最短である理由を1文で述べよ。
2. 8.3-2 $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ からの大きさ 10 の標本で $\bar x=20.0,\ s=1.5$ を得た。次の観測値 $X_{11}$ の 95% 予測区間と、$\mu$ の 95% 信頼区間を求めて長さを比べよ。
3. 8.3-3 $\mathrm{U}(0,\theta)$ の最大値 $M$ から、次の条件で区間を作る。区間は $[M/b,\ M/a]$ の形とする。

$$0<a<b\le1,\qquad b^n-a^n=1-\alpha$$

この中で長さ $M(1/a-1/b)$ が最小になるのは $b=1,\ a=\alpha^{1/n}$ であることを示せ。4. 8.3-4 規格幅 $U_s-L_s=6$、大きさ 30 の標本から $s=0.8$ を得た。$C_p$ の信頼係数 0.95 の下側信頼限界を求めよ。