この章のまとめと試験での出方

数理統計　第8章 §8.4

信頼区間は、データから作る区間 $[L(\bm X),U(\bm X)]$ で、真の値がどれであってもそれを含む確率が $1-\alpha$ 以上になるものである。確率的に動くのは区間の側で、観測したあとの区間に確率を付けることはしない。

作り方は3つあった。

1. 枢軸量：分布が母数によらない量を見つけて不等式を解く（定理 8.3）。正規母集団では、平均は $t$ 分布、分散は $\chi^2$ 分布で区間が作れる。分散比には $F$ 分布を使う。指数分布とガンマ分布では $2\lambda\sum X_i\sim\chi^2_{2n}$ が同じ役割をする。
2. 検定の反転：各 $\theta_0$ の検定で受容される値を集める（定理 8.4）。離散分布では Clopper–Pearson の区間になる。
3. 漸近分布：最尤推定量などの漸近分布を近似的な枢軸量として使う（式 (8.9)）。非正則な模型では最小値の極限分布を使う。

区間の良さは長さと誤った値を含む確率で測る。単峰な枢軸量では両端の密度をそろえた区間が最短になり、一様最強力検定を反転した信頼限界は一様最精密になる。

1級の統計数理では、信頼区間は大問の後半の小問として、次のような連鎖で出ると考えてよい。

• 密度を与える → 尤度を書いて最尤推定量を求める → 推定量（またはその関数）の厳密な分布を導く → それが枢軸量になることを確かめて区間を作る。指数分布・ガンマ分布・正規分布の分散がこの型で、$\chi^2$ への帰着を積率母関数で示す部分が導出の中心になる。
• 台の端が母数の模型 → 最小値（最大値）の分布関数を独立性から書く → 基準化した $n(M-\theta)$ の極限分布を求める → 極限分布から片側の区間を作る。2025年 統計数理 問2 の題材（台が切れた分布の最小値の極限分布からの信頼区間）がこの型である。
• 離散分布（二項・ポアソン）→ 最尤推定量の漸近正規性 → Wald 型の区間 → スコア型や分散安定化変換で改良した区間との比較。
• 検定の小問のあとで「この検定を反転して信頼区間を作れ」と問う型。第7章の受容域を $\theta_0$ について解き直すだけで答えになる。

統計応用（理工学）では、2025年 問1 の題材（工程能力指数 $C_p$ の信頼区間）のように、品質管理の指標の区間を $\chi^2$ の枢軸量から作らせる問題がある。どの型でも、答案には「どの量がどの分布に従い、その分布が母数によらないこと」を明記してから不等式を解くと、部分点の対象になる途中式が残る。