確認テストの解答

数理統計　第8章 §8.5

1. 8.1-1 正しくない。観測後の区間 $[2.1,3.4]$ が母平均を含むかどうかは確定していて、確率は 0 か 1 である。信頼係数 0.95 は「同じ手続きで標本を取り区間を作ることを繰り返すと、作られた区間のうち割合 0.95 が母平均を含む」という、区間を作る手続きの性質を表す。
2. 8.1-2 $\sigma=3,\ n=25$ で $\sigma/\sqrt n=0.6$。$z_{0.005}=2.576$ から半幅は $2.576\times0.6=1.545$。区間は $[50.2-1.545,\ 50.2+1.545]=[48.655,\ 51.745]$ である。
3. 8.1-3 半幅の条件 $z_{0.025}\sigma/\sqrt n\le0.5$ から

$$n\ge(1.960\times3/0.5)^2=11.76^2=138.30,$$

よって最小値は 139 である。片側の下側信頼限界は $\bar X-z_{0.05}\sigma/\sqrt n$ で、引く量は $1.645\times3/\sqrt{139}=0.419$ である。4. 8.1-4 制約 $\Phi(b)-\Phi(-a)=1-\alpha$ のもとで $a+b$ を最小化する。次のようにおく。

$$G(a,b,\lambda)=a+b-\lambda\{\Phi(b)-\Phi(-a)-(1-\alpha)\}$$

停留条件は次のとおりである。

$$\begin{aligned}\partial G/\partial a&=1-\lambda\phi(-a)=0,\\ \partial G/\partial b&=1-\lambda\phi(b)=0.\end{aligned}$$

よって $\phi(a)=\phi(-a)=\phi(b)$ を得る。$\phi$ は正の範囲で狭義減少なので $a=b$ である。制約から $2\Phi(a)-1=1-\alpha$、すなわち $a=b=z_{\alpha/2}$ である。

この停留点が最小であることは次のように確かめられる。一方の端が無限大へ行くと $a+b\to\infty$ となる。制約を満たす曲線の上で $a+b$ は連続なので、内部の唯一の停留点が最小値を与える。5. 8.2-1 $t_8(0.025)=2.306,\ s/\sqrt n=1.2/3=0.4$ で、半幅は $2.306\times0.4=0.922$。$\mu\in[3.878,\ 5.722]$。分散は式 (8.5) で、$(n-1)s^2=8\times1.44=11.52,\ \chi^2_8(0.025)=17.535,\ \chi^2_8(0.975)=2.180$ から$\sigma^2\in[11.52/17.535,\ 11.52/2.180]=[0.657,\ 5.285]$。6. 8.2-2 本文のとおり $P(M/\theta\le t)=t^n$ なので、すべての $\theta$ で次が成り立つ。

$$P(\theta\in[M,M\alpha^{-1/n}])=P(\alpha^{1/n}\le M/\theta\le1)=1-(\alpha^{1/n})^n=1-\alpha$$

$\alpha=0.05,\ n=5$ で $\alpha^{-1/5}=1.8206$ である。区間は $[3.2,\ 3.2\times1.8206]=[3.2,\ 5.826]$。7. 8.2-3 $\bar x=2.4$ である。

1. (a) $\sqrt{2.4/30}=0.2828$ で、半幅は $1.960\times0.2828=0.554$。区間は $[1.846,\ 2.954]$。
2. (b) デルタ法で次のように計算する。

$$V[2\sqrt{\bar X}]\approx\{g'(\lambda)\}^2V[\bar X]=(1/\sqrt\lambda)^2\cdot\lambda/n=1/n$$

よって $\sqrt n(2\sqrt{\bar X}-2\sqrt\lambda)\to\mathrm{N}(0,1)$ で、漸近分散は 1 である。区間は

$$\sqrt\lambda\in\sqrt{\bar x}\pm\frac{z_{0.025}}{2\sqrt n}=1.5492\pm0.1789=[1.3703,\ 1.7281]$$

で、2乗して $\lambda\in[1.878,\ 2.986]$。この区間は点推定値より右に少し長い（左 0.522、右 0.586）。8. 8.2-4 積率母関数を順に計算する（$t<1/\beta$）。

$$\begin{aligned}E[\mathrm{e}^{tX}]&=\int_0^\infty\frac{x^{k-1}\mathrm{e}^{-x(1/\beta-t)}}{\Gamma(k)\beta^k}\mathrm{d} x=\frac{(1/\beta-t)^{-k}}{\beta^k}=(1-\beta t)^{-k},\\ E[\mathrm{e}^{t\cdot2X/\beta}]&=(1-2t)^{-k} &&\text{（}{2X/\beta}\text{ の積率母関数）}\\ E[\mathrm{e}^{t\cdot2\sum X_i/\beta}]&=(1-2t)^{-nk}=(1-2t)^{-2nk/2} &&\text{（独立な和）}\end{aligned}$$

最後の式は $\chi^2_{2nk}$ の積率母関数に一致する。積率母関数は分布を決めるので $2\sum X_i/\beta\sim\chi^2_{2nk}$ である。これは尺度について狭義減少な枢軸量で、

$$\beta\in\Bigl[\frac{2\sum X_i}{\chi^2_{2nk}(\alpha/2)},\ \frac{2\sum X_i}{\chi^2_{2nk}(1-\alpha/2)}\Bigr].$$

$k=2,\ n=5$ で自由度は 20、$2\sum x_i=36$ である。区間は $\beta\in[36/34.170,\ 36/9.591]=[1.054,\ 3.754]$。9. 8.2-5 $s_1^2/s_2^2=2.4$。$F_{10,15}(0.025)=3.060,\ F_{15,10}(0.025)=3.522$ を式 (8.6) に入れると$\sigma_1^2/\sigma_2^2\in[2.4/3.060,\ 2.4\times3.522]=[0.784,\ 8.452]$。区間が 1 を含むので、定理 8.4 により$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2$ は有意水準 5% の両側 $F$ 検定で棄却されない（実際、検定統計量 2.4 は棄却限界 3.060 を超えない）。10. 8.3-1 $t_{n-1}$ の密度は 0 について対称な単峰の密度なので、定理 8.6 の条件 $f(a)=f(b)$ は「両端が対称」を意味し、等裾の区間がそれを満たすからである。11. 8.3-2 $t_9(0.025)=2.262$。予測区間の半幅は $2.262\times1.5\times\sqrt{1.1}=3.559$ で、$[16.44,\ 23.56]$。信頼区間の半幅は $2.262\times1.5/\sqrt{10}=1.073$ で、$[18.93,\ 21.07]$。予測区間は長さが約 3.3 倍（$\sqrt{1.1}/\sqrt{0.1}=\sqrt{11}$ 倍）である。12. 8.3-3 制約から $a=(b^n-(1-\alpha))^{1/n}$ は $b$ の関数である。制約 $b^n-a^n=1-\alpha$ を微分すると

$$nb^{n-1}=na^{n-1}\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} b},\qquad\text{すなわち}\qquad\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} b}=\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}}.$$

長さの係数 $h(b)=1/a-1/b$ を微分すると

$$h'(b)=-\frac{1}{a^2}\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{b^2}-\frac{b^{n-1}}{a^{n+1}}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a^{n+1}b^2}<0$$

（$a<b$ なので）。$h$ は狭義減少で、許される範囲の右端 $b=1$ で最小になる。そのとき $a^n=1-(1-\alpha)=\alpha,\ a=\alpha^{1/n}$ で、区間は $[M,\ M\alpha^{-1/n}]$。13. 8.3-4 $\hat C_p=6/(6\times0.8)=1.25$。片側の下側信頼限界は $\hat C_p\sqrt{\chi^2_{29}(0.95)/29}$ である。$\chi^2_{29}(0.95)=17.708$ から $1.25\times\sqrt{17.708/29}=1.25\times0.7814=0.977$。