この章のまとめ

確率論入門　第13章 §13.5

この章の出発点は、独立な和の分布を直接計算する代わりに特性関数の積を計算し、その極限から分布の極限を読み取るという方針であった。それを正当化したのが Lévy の連続性定理（定理 13.7）である。その証明は3段で進んだ。

1. 特性関数の 0 の近くの振る舞いが裾の確率を抑えること（補題 13.5）から、緊密性を引き出した。
2. Helly の選出定理で極限の候補をとった。
3. 第9章の一意性定理で候補を1つに絞った。

一様分布 $\mathrm U(-n,n)$ の例が示すように、極限の 0 での連続性は質量が無限遠へ逃げないための条件である。

中心極限定理（定理 13.10）は、この道具に第8章の特性関数の2次の展開を入れるだけで証明できた。展開の3次以上の部分は $n\to\infty$ で消えるので、極限は元の分布によらず正規分布になる。同分布でない場合は Lindeberg 条件（定理 13.12）が、どの寄与も全体を支配しないことを表す十分条件であり、Lyapunov の条件はそれを高次のモーメントで確かめる形である。近似の誤差は一般に $1/\sqrt n$ の程度で、整数値の分布では連続補正が近似を改善する。

確率ベクトルについては、Cramér–Wold の方法（定理 13.15）がすべての1次元射影の問題に帰着させ、多変量の中心極限定理（定理 13.16）が1次元の定理から直ちに出た。その応用として、Pearson の統計量が自由度 $k-1$ のカイ二乗分布に近づくことを、共分散行列が射影になることから示した。

デルタ法（定理 13.19・定理 13.20）によって推定量の微分可能な関数の近似分布が得られ、そこから分散安定化変換と標本分散の近似分布を導いた。微分係数が 0 になる点では拡大率が $n$ に変わり、極限はカイ二乗分布になる。

第14章からは独立性の仮定を外し、確率過程とマルコフ連鎖を扱う。第14章 §14.2 の Brown 運動の増分が正規分布に従うことは、細かい独立な寄与の和が正規分布に近づくというこの章の結果と同じ考え方に立つ。第15章 §15.4 では、マルコフ連鎖の時間平均について大数の法則に当たる結果をエルゴード定理として示す。§15.5 の MCMC による推定の誤差の見積もりには、この章と同じ形の正規近似を使う。