この章のまとめ

相対論入門　第1章 §1.5

Newton 力学では時間はすべての観測者に共通で、慣性系どうしは Galilei 変換 (1.1) で結ばれる。このとき加速度と相対位置が変わらないので、相互作用が相対位置で決まる限り運動方程式は形を保ち（定理 1.3）、運動量保存とエネルギー保存も慣性系をまたいで成り立つ。

ところが Maxwell 方程式から出る波動方程式は Galilei 変換で (1.8) の形に変わり、光の速さが $c$ に見える系はただ1つになってしまう。その特別な系（エーテル系）に対する地球の運動を探した Michelson–Morley の実験は、$v^2/c^2$ の大きさの縞のずれ (1.12) を予言どおりには示さなかった。

Einstein は Galilei 変換の方を捨て、相対性原理と光速不変の原理を出発点にした。光速不変の原理を受け入れると、1つの光の波面が2つの慣性系でそれぞれの原点を中心とする球面になる必要があり、時刻の付け方が慣性系ごとに違うことを認めなければならない。離れた時計は光の往復で合わせ（Einstein の同期 (1.15)）、その時計で「同時」を定義する。

すると電車の思考実験から、ある慣性系で同時な2つの出来事が別の慣性系では (1.17) だけずれることが分かる（同時の相対性）。光時計の思考実験からは、動く時計の刻みが $\gamma$ 倍に延びること (1.19) が分かり、相対性原理によってこれはすべての時計に当てはまる。

これらの結果は、2つの原理と、運動と垂直な長さが変わらないこと（補題 1.6）だけから導いた。第2章では、線形性と空間の対称性を加えて、2つの原理を満たす座標変換である Lorentz 変換を導く。そこでは、この章の時間の遅れ、確認テスト 1.4-4 で現れた運動の向きの長さの収縮、同時の相対性の3つが、1つの変換の異なる面として現れる。光の球面の条件 $c^2t^2-x^2-y^2-z^2=0$ は、第3章で不変間隔として時空図の幾何の中心に置かれる。