確認テストの解答

相対論入門　第1章 §1.6

1.1 Galilei 変換と Newton 力学の相対性

1. 1.1-1 $x'=x-vt$、$t'=t$ を2回微分する。$\mathrm{d}/\mathrm{d} t'=\mathrm{d}/\mathrm{d} t$ であり、$v$ は定数なので

$$\frac{\mathrm{d}^2x'}{\mathrm{d} t'^2}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d} t^2}-\frac{\mathrm{d}^2(vt)}{\mathrm{d} t^2}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d} t^2}$$

となる。$y,z$ 成分は座標が等しいので加速度も等しい。2. 1.1-2 $K'$ では小球は初速 $0$ で鉛直に落ちる。床を $y'=0$、放した点を $x'=0$ とすると

$$x'(t')=0,\qquad y'(t')=h-\frac12gt'^2 .$$

床に着く時刻は $y'=0$ から $t'=\sqrt{2h/g}=\sqrt{2\times1.25/10}=0.50\,\mathrm s$ である。$K$ では、放した瞬間を時刻の原点、放した点の地面に対する位置を $x$ の原点に取る。Galilei 変換

$$x=x'+vt,\qquad y=y',\qquad t=t'$$

から

$$x(t)=vt,\qquad y(t)=h-\frac12gt^2$$

であり、$t$ を消すと $y=h-gx^2/(2v^2)$ の放物線になる。着地の時刻は同じ $0.50\,\mathrm s$ で、その間の水平距離は $x=20\times0.50=10\,\mathrm m$ である。運動方程式は次のとおりで、2つの系で同じ形である。

$$K'\colon\ m\ddot x'=0,\quad m\ddot y'=-mg,\qquad K\colon\ m\ddot x=0,\quad m\ddot y=-mg$$

軌道の形が違うのは、初速度が違うためである。初速度は電車の系で 0、地面の系で $v$ である。3. 1.1-3 $\begin{pmatrix}t'\\x'\end{pmatrix}=G(v)\begin{pmatrix}t\\x\end{pmatrix}$、$G(v)=\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}$ と書ける。積を計算すると

$$G(v_2)G(v_1)=\begin{pmatrix}1&0\\-v_2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-v_1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-v_1-v_2&1\end{pmatrix}=G(v_1+v_2).$$

特に $v_2=-v_1$ とおくと $G(-v_1)G(v_1)=G(0)=I$（単位行列）である。したがって $G(v)^{-1}=G(-v)$ である。$G(v_1+v_2)=G(v_2+v_1)$ なので合成の順序にもよらない。4. 1.1-4 衝突の前後の量に「前」「後」の添字を付ける。(1.5) を前後それぞれで書いて引くと

$$K'_{\text{後}}-K'_{\text{前}}=(K_{\text{後}}-K_{\text{前}})-\bm{V}\cdot(\bm{P}_{\text{後}}-\bm{P}_{\text{前}})+\frac12(M_{\text{後}}-M_{\text{前}})\left\vert \bm{V}\right\vert ^2$$

となる。ここで $K$ は運動エネルギー、$\bm{P}$ は全運動量を表す。$M$ は全質量である。仮定から $\bm{P}_{\text{後}}=\bm{P}_{\text{前}}$、$M_{\text{後}}=M_{\text{前}}$ である。したがって

$$K'_{\text{後}}-K'_{\text{前}}=K_{\text{後}}-K_{\text{前}}$$

となり、片方が 0 ならもう片方も 0 である。

全質量が衝突で変わると、最後の項 $\frac12\Delta M\left\vert \bm{V}\right\vert ^2$ が残り、運動エネルギーの変化が慣性系ごとに違ってしまう。さらに運動量 $\sum m_i\bm{u}'_i=\sum m_i\bm{u}_i-M\bm{V}$ も前後で $\Delta M\,\bm{V}$ だけずれるので、運動量保存も一部の慣性系でしか成り立たない。Newton 力学で質量保存がすべての慣性系での保存則の前提になっていることが分かる。第5章では、相対論で質量とエネルギーが結びつき、この前提が書き換わる。

1.2 電磁気学との食い違いと Michelson–Morley の実験

1. 1.2-1 $u_x=c$ を (1.2) に入れると $u'_x=c-v$ である。
2. 1.2-2 $L_1=L_2=L$ のとき

$$\Delta T=\frac{2L}{c}\Bigl(\frac1{1-\beta^2}-\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}\Bigr)=\frac{2L}{c}\Bigl(\frac12\beta^2+\frac58\beta^4+\cdots\Bigr)=\frac{L}{c}\Bigl(\beta^2+\frac54\beta^4\Bigr)+\cdots$$

である（展開は例題 1.2 の3と同じ）。数値は、$L/c=11/(3.00\times10^8)=3.67\times10^{-8}\,\mathrm s$ と $\beta^2=1.0\times10^{-8}$ から求める。結果は $\Delta T=3.7\times10^{-16}\,\mathrm s$ である。2つの項の比は $1.25\times10^{-8}$ で、$\beta^4$ の項は無視できる。3. 1.2-3 (1.9) の $L_1$ を $L_1\sqrt{1-\beta^2}$ に置き換えると

$$T_1=\frac{2L_1\sqrt{1-\beta^2}}{c}\,\frac1{1-\beta^2}=\frac{2L_1}{c}\,\frac1{\sqrt{1-\beta^2}}$$

となる。$L_1=L_2$ ならこれは (1.10) の $T_2$ と等しい。装置を回しても、そのとき運動の向きにある腕が縮むので、やはり $T_1=T_2$ で、縞はずれない。4. 1.2-4 Galilei 変換 $x'=x-vt$、$t'=t$ を入れると

$$\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(x-vt-ct)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(x-(c+v)t)}$$

である。$\partial_x^2\psi=-k^2\psi$、$\partial_t^2\psi=-k^2(c+v)^2\psi$ なので

$$\partial_x^2\psi-\frac1{c^2}\partial_t^2\psi=\Bigl(-k^2+\frac{k^2(c+v)^2}{c^2}\Bigr)\psi=\frac{k^2v(2c+v)}{c^2}\,\psi$$

となり、$v\ne0$ なら 0 でない。$K$ ではこの波は速さ $c+v$ で進む。そのため、速さ $c$ の波を記述する方程式を満たさない。5. 1.2-5 $v/c=2.98\times10^4/(2.998\times10^8)=9.94\times10^{-5}$ で、$\alpha\simeq9.94\times10^{-5}\,\mathrm{rad}$ である。$1\,\mathrm{rad}=206265''$ なので $\alpha=9.94\times10^{-5}\times206265''=20.5''$ である。

1.3 Einstein の2つの原理

1. 1.3-1 相対性原理：物理法則はすべての慣性系で同じ形をとる。光速不変の原理：真空中の光の速さは、光源の運動にも観測者の慣性系にもよらず、どの向きにも $c$ である。Michelson–Morley の実験では光源が装置と一緒に動いているので、光の速さが光源の速さによらないという部分は確かめられない（光源の速さが足されるとしても縞はずれない）。また、この実験は往復の時間しか比べないので、片道の速さについても直接には何も言わない。
2. 1.3-2 $x=x'+vt'$、$t=t'$ を (1.13) に入れると、次の式を得る。

$$(x'+vt')^2+y'^2+z'^2=c^2t'^2$$

これは、$K'$ で中心が $(-vt',0,0)$ の球面である。半径は $ct'$ である。各方向の波面の位置と光の速さは次のとおりである。

$$\begin{aligned}+x'\text{ 方向}&:\ x'=ct'-vt'=(c-v)t' &&\text{（速さ }c-v\text{）}\\ -x'\text{ 方向}&:\ x'=-ct'-vt'=-(c+v)t' &&\text{（速さ }c+v\text{）}\\ y'\text{ 軸上}\ (x'=z'=0)&:\ v^2t'^2+y'^2=c^2t'^2\ \Longrightarrow\ y'=\sqrt{c^2-v^2}\,t' &&\text{（速さ }\sqrt{c^2-v^2}\text{）}\end{aligned}$$

どれも光速不変の原理に反する。3. 1.3-3 (1.15) から $t_B=(0+2.00\,\mu\mathrm s)/2=1.00\,\mu\mathrm s$ に合わせる。距離は $c(t_2-t_1)/2=3.00\times10^8\times1.00\times10^{-6}\,\mathrm m=300\,\mathrm m$ である。4. 1.3-4 $\delta t\simeq2(D/c)(u/c)$ に次の値を入れる。

$$\frac Dc=5.0\times10^2\,\text{年},\qquad \frac uc=\frac{5.0\times10^4}{3.00\times10^8}=1.67\times10^{-4}$$

すると

$$\delta t=2\times5.0\times10^2\times1.67\times10^{-4}\,\text{年}=0.167\,\text{年}=0.167\times365.25\,\text{日}=61\,\text{日}$$

である。5. 1.3-5 光速不変の原理は、この慣性系に「光がどの向きにも速さ $c$ で進むように測れる時刻 $\tau$」が存在することを主張している。A、B、C の時計は同じ速さで進むので、それぞれの読みは次のように書ける（$a,b,c_0$ は定数のずれ）。

$$\text{A}: \tau+a,\qquad \text{B}: \tau+b,\qquad \text{C}: \tau+c_0$$

A と B の距離を $d$ とする。A の読みで $t_1=\tau_1+a$ に光を出したとする。光が B で反射するのは $\tau_1+d/c$、A に戻るのは $\tau_1+2d/c$ である。戻ったときの A の読みは $t_2=\tau_1+2d/c+a$ である。

反射の瞬間の B の読みは $\tau_1+d/c+b$ であり、同期の条件 (1.15) は

$$\tau_1+\frac dc+b=\frac{(\tau_1+a)+(\tau_1+2d/c+a)}{2}=\tau_1+\frac dc+a$$

となるので、$b=a$ と同値である。同じ計算で、A と C が同期していることは $c_0=a$ と同値である。したがって $b=c_0$ であり、B と C の間で同じ計算をすると同期の条件 $b=c_0$ が満たされている。B と C の時計は合っている。

1.4 同時の相対性

1. 1.4-1 $K$ に静止させ Einstein の同期で互いに合わせた時計のうち、それぞれの出来事が起きた場所にある時計が、同じ時刻を示すことである。
2. 1.4-2 (1.17) に $\ell=200\,\mathrm m$、$\beta=0.60$ を入れると

$$\Delta t=\frac{\ell\beta}{c(1-\beta^2)}=\frac{200\times0.60}{3.00\times10^8\times0.64}\,\mathrm s=6.25\times10^{-7}\,\mathrm s\approx0.63\,\mu\mathrm s$$

である。$\gamma=1/\sqrt{1-0.36}=1.25$、$L_0=\ell\gamma=250\,\mathrm m$ とすると

$$\frac{\gamma L_0v}{c^2}=\frac{\gamma\cdot\gamma\ell\cdot\beta}{c}=\frac{\ell\beta}{c(1-\beta^2)}$$

で一致する。数値でも $1.25\times250\times0.60/(3.00\times10^8)\,\mathrm s=6.25\times10^{-7}\,\mathrm s$ である。3. 1.4-3 $T_0=2L_0/c=2\times1.5/(3.00\times10^8)\,\mathrm s=1.0\times10^{-8}\,\mathrm s=10\,\mathrm{ns}$ である。$\beta=0.80$ では $\gamma=1/\sqrt{1-0.64}=1/0.6=5/3$ である。したがって $T=\gamma T_0=16.7\,\mathrm{ns}$ である。4. 1.4-4 地面の系では、光は前の鏡を相対的な速さ $c-v$ で追いかけ、後ろの鏡に $c+v$ で近づく。往復の時間は (1.9) と同じ計算で

$$T_\parallel=\frac{L}{c-v}+\frac{L}{c+v}=\frac{2L}{c}\,\frac1{1-\beta^2}=\frac{2L}{c}\gamma^2$$

である。同じ時計の刻みは光をどの向きに往復させても同じでなければならない（そうでなければ時計の向きを変えるだけで電車の運動が分かり、相対性原理に反する）。したがって $T_\parallel=\gamma T_0=2\gamma L_0/c$ であり、$2L\gamma^2/c=2\gamma L_0/c$ から

$$L=\frac{L_0}{\gamma}=L_0\sqrt{1-\beta^2}$$

を得る。運動の向きの長さは $K$ から見て縮む。式の形は Lorentz–FitzGerald の仮説と同じだが、ここでは2つの原理から導かれている。第2章 §2.2 で Lorentz 変換から改めて導く。5. 1.4-5 $\beta=250/(3.00\times10^8)=8.33\times10^{-7}$、$\beta^2/2=3.47\times10^{-13}$ である。10 時間は $3.6\times10^4\,\mathrm s$ なので、遅れは次のとおりである。

$$3.47\times10^{-13}\times3.6\times10^4\,\mathrm s=1.25\times10^{-8}\,\mathrm s=12.5\,\mathrm{ns}$$