標準偏差

統計学の復習　第2章 §2.6　★★★ 分散の平方根でデータと単位をそろえる。標準化と Chebyshev の不等式

分散はデータの2乗の単位を持つ（cm のデータなら cm$^2$）。平方根をとって単位をデータとそろえたものが標準偏差で、$n$ で割る $\hat\sigma=\sqrt{\hat\sigma^2}$ と、$n-1$ で割る $s=\sqrt{s^2}$ の2つがある。

標準化

$z_i$ は「平均から標準偏差何個ぶん離れているか」を表す単位のない数で、違う単位や違う散らばりのデータどうしの位置を比べるのに使う。偏差値は $50+10z_i$ で、平均50・標準偏差10になるように1次変換したものである。確率変数の標準化 $Z=(X-\mu)/\sigma$（第6章）は、同じ操作を母集団の $\mu,\sigma$ で行ったものである。

Chebyshev の不等式（データ版）

標準偏差は、データの大部分が平均のまわりのどの範囲に入るかを、分布の形によらずに保証する。

$k=2$ なら、平均から標準偏差2個ぶん以上離れたデータは全体の $1/4$ 以下、$k=3$ なら $1/9$ 以下である。この保証は分布の形について何も仮定しないので、正規分布に近いデータで実際に外へ出る割合（$k=2$ で約 $4.6\%$）よりずっと粗い。確率変数についての Chebyshev の不等式（第4章）は、この割合を確率に置き換えたもので、証明も同じく「条件を満たさない項を捨てる」1行である。

確認テスト

オリジナル

1. 2.6-1 大きさ $n=10$ のデータの不偏標準偏差が $s=5$ である。不偏分散 $s^2$、偏差平方和 $S_{xx}$、$n$ で割る分散 $\hat\sigma^2$ と $\hat\sigma$ を求めよ。
2. 2.6-2 標準化した値 $z_i$ について $\sum_iz_i^2=n$ となることを、命題 2.13 を使わずに定義から直接示せ。
3. 2.6-3 $n=8$ 個のデータで、$\lvert x_i-\bar x\rvert \ge2\hat\sigma$ を満たす割合がちょうど $1/4$（Chebyshev の上限と等しい）になる例を1つ作り、そうなることを確かめよ。
4. 2.6-4 データ $1,2,6,7$ の平均絶対偏差と $\hat\sigma$ を求め、平均絶対偏差 $\le\hat\sigma$ を確かめよ。