変動係数

統計学の復習　第2章 §2.7　★★ 標準偏差を平均で割り、単位と大きさの違うデータの散らばりを比べる

体重と身長のように単位が違う量や、平均の大きさが大きく違う量の散らばりは、標準偏差を直接比べても意味がない。そこで標準偏差を平均で割る。

この命題から、変動係数を使ってよいのは比尺度（0 に「量が無い」という意味がある尺度）のデータに限られる。g を kg に変える（$a=1/1000$）ような単位の変更では変動係数は変わらないが、摂氏温度のように0の位置が約束で決まっている間隔尺度では、0をどこに置くかで変動係数が変わってしまう。

確認テスト

オリジナル

1. 2.7-1 データを $y_i=ax_i$（$a>0$）と変換しても変動係数が変わらないことを、$\hat\sigma$ の定義から直接示せ。
2. 2.7-2 機械Aが作る部品は平均 250 g・標準偏差 5 g、機械Bが作る部品は平均 40 g・標準偏差 1.2 g である。標準偏差で比べた場合と変動係数で比べた場合で、どちらの機械の散らばりが大きいと判断されるか。
3. 2.7-3 母平均 $\mu=50$、母標準偏差 $\sigma=10$ の母集団から $n=25$ と $n=100$ の標本をとる。それぞれについて変動係数 $\sigma/\mu$ と標本平均の標準誤差 $\sigma/\sqrt n$ を求め、$n$ への依存の違いを述べよ。
4. 2.7-4 0以上の値をとるデータ（$\bar x>0$）について、$\mathrm{CV}=\hat\sigma/\bar x\le\sqrt{n-1}$ を示せ。また等号が成り立つデータの例を挙げよ。