確認テストの解答

統計学の復習　第2章 §2.9

1. 2.1-1 和は $40$ で平均 $40/6=20/3\approx6.67$。並べ替えると $3,4,5,7,9,12$ で、真ん中の2つ $5,7$ の平均 $6$ が中央値。
2. 2.1-2 (2.1) から $\bar y=1.1\times50+3=58$。偏差の和は $\sum_i(y_i-\bar y)=\sum_i(1.1x_i+3)-n(1.1\bar x+3)=1.1\sum_ix_i+3n-1.1n\bar x-3n=1.1(n\bar x-n\bar x)=0$。
3. 2.1-3 $x_i$ はその階級（幅 $h$）に入り、階級値は階級の中点なので $\lvert x_i-c(x_i)\rvert \le h/2$。三角不等式から$\lvert \bar x-\bar x_{\mathrm g}\rvert =\frac1n\lvert \sum_i(x_i-c(x_i))\rvert \le\frac1n\sum_i\lvert x_i-c(x_i)\rvert \le\frac1n\cdot n\cdot\frac h2=\frac h2$。
4. 2.1-4 $(30\times62+20\times70)/50=(1860+1400)/50=65.2$ 点。人数の違う2群の平均点を合わせるには、人数を重みとする加重平均をとる必要があり、単純な平均 $66$ は2群を同じ人数とみなした値になるからである。
5. 2.2-1 $4\le c\le6$ では $\lvert 1-c\rvert =c-1$、$\lvert 4-c\rvert =c-4$、$\lvert 6-c\rvert =6-c$、$\lvert 10-c\rvert =10-c$ なので、和は $(c-1)+(c-4)+(6-c)+(10-c)=11$ で $c$ によらない。$c<4$ では傾き $m_--m_+\le1-3<0$、$c>6$ では傾き $\ge3-1>0$ なので、この区間の値 $11$ が最小値である。
6. 2.2-2 和は $24$ で $\bar x=3$。8個の4番目と5番目がともに $2$ なので $\tilde x=2$。最頻値は3回現れる $2$。偏差は $-2,-2,-1,-1,-1,0,1,6$ で $S_{xx}=4+4+1+1+1+0+1+36=48$、$\hat\sigma^2=6$、$\hat\sigma=\sqrt6\approx2.449$。$\lvert \bar x-\tilde x\rvert =1\le2.449$。
7. 2.2-3 $f(c)=\sum_iw_i(x_i-c)^2$ を展開すると $f(c)=\bigl(\sum_iw_i\bigr)c^2-2\bigl(\sum_iw_ix_i\bigr)c+\sum_iw_ix_i^2$ で、$c^2$ の係数が正の2次関数である。$f'(c)=-2\sum_iw_i(x_i-c)=0$ から $c=\sum_iw_ix_i/\sum_iw_i$ で最小になる。全部の重みが等しければ算術平均に戻る。
8. 2.2-4 平均は $22/7\approx3.14$。$N(2)=7-2=5$、$N(3)=7-3=4$、$N(\bar x)=7-0=7$（$22/7$ に等しいデータは無い）。最頻値 $3$ での $4$ が最小である。
9. 2.3-1 (a) 名義尺度なので最頻値だけ。(b) 順序尺度なので中央値と最頻値。(c) 間隔尺度なので平均・中央値・最頻値のすべて（ただし変動係数は使えない）。(d) 比尺度なので3つすべて。
10. 2.3-2 $y=1,4,36$ で中央値は $4=2^2=g(\tilde x)$。平均は $41/3\approx13.67$ で、$g(\bar x)=3^2=9$ と一致しない。
11. 2.3-3 和は $220$ で平均 $220/9\approx24.44$ 万円、中央値は5番目の $24$ 万円。$33$ が $330$ になると和は $517$ で平均 $517/9\approx57.44$ 万円と2倍以上になるが、中央値は5番目の $24$ 万円のまま変わらない。
12. 2.3-4 和は $110$ で平均 $11$。中央値は5番目と6番目の平均 $(7+8)/2=7.5$。$3$ と $48$ を除いた8個の和は $59$ で、トリム平均は $59/8=7.375$。外れ値 $48$ のせいで平均だけが大きくなっている。
13. 2.4-1 $\bar x=5$、$G=\sqrt{16}=4$、$H=2/(1/2+1/8)=2/(5/8)=3.2$。$\bar x\cdot H=5\times3.2=16=G^2$。
14. 2.4-2 倍率は $1.25\times0.8=1.00$ で、$G=\sqrt{1.00}=1$ なので年平均の変化率は $0\%$。変化率の算術平均 $(25-20)/2=2.5\%$ は誤りである。
15. 2.4-3 $(\sqrt a-\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b\ge0$ を2で割って移項すると $\frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$。等号は $\sqrt a=\sqrt b$、すなわち $a=b$ のときに限る。
16. 2.4-4 買った個数は $12000/100+12000/120+12000/150=120+100+80=300$ 個、支払いは $36000$ 円なので平均単価は $36000/300=120$ 円。一般に、毎回 $M$ 円で単価 $p_1,p_2,p_3$ の商品を買うと平均単価は $3M/\sum_jM/p_j=3/\sum_j1/p_j$ で、単価の調和平均に等しい（$M$ が約分で消える）。算術平均 $(100+120+150)/3\approx123.3$ 円より安い。
17. 2.5-1 $\bar x=40/5=8$、偏差 $-4,-1,-1,1,5$ から $S_{xx}=16+1+1+1+25=44$。計算公式では $\sum x_i^2=16+49+49+81+169=364$、$364-5\times64=44$ で一致。$\hat\sigma^2=44/5=8.8$、$s^2=44/4=11$。
18. 2.5-2 $\bar x=5$、$\hat\sigma^2=310/10-5^2=6$。$S_{xx}=60$ なので $s^2=60/9=20/3\approx6.67$。
19. 2.5-3 命題 2.11 から $\hat\sigma_y^2=(-2)^2\times3=12$、$\hat\sigma_y=\lvert -2\rvert \sqrt3=2\sqrt3\approx3.46$。足した $5$ は分散に影響しない。
20. 2.5-4 $\bar x=(x_1+x_2)/2$ なので $x_1-\bar x=(x_1-x_2)/2$、$x_2-\bar x=-(x_1-x_2)/2$。$S_{xx}=2\cdot(x_1-x_2)^2/4=(x_1-x_2)^2/2$。$n-1=1$ で割って $s^2=(x_1-x_2)^2/2$、$n=2$ で割って $\hat\sigma^2=(x_1-x_2)^2/4$。命題 2.9 の $n=2$ の場合（組は1通り）に当たる。
21. 2.5-5 全体の平均を $\bar x$ とし、群 $g$（$g=1,2,3$）のデータに平行移動の公式を $c=\bar x$ として使うと $\sum_{i\in g}(x_i-\bar x)^2=n_g\hat\sigma_g^2+n_g(\bar x_g-\bar x)^2$。3つを足すと $n\hat\sigma^2=\sum_gn_g\hat\sigma_g^2+\sum_gn_g(\bar x_g-\bar x)^2$ で、群内の平方和と群間の平方和に分かれる。全体の平均は $\bar x=\sum_gn_g\bar x_g/n$ である。
22. 2.6-1 $s^2=25$、$S_{xx}=(n-1)s^2=9\times25=225$、$\hat\sigma^2=225/10=22.5$、$\hat\sigma=\sqrt{22.5}\approx4.74$。
23. 2.6-2 $\sum_iz_i^2=\frac{1}{\hat\sigma^2}\sum_i(x_i-\bar x)^2=\frac{S_{xx}}{S_{xx}/n}=n$。
24. 2.6-3 例として $-2,0,0,0,0,0,0,2$ をとる。$\bar x=0$、$S_{xx}=8$、$\hat\sigma^2=1$、$\hat\sigma=1$。$\lvert x_i\rvert \ge2$ を満たすのは2個で割合は $2/8=1/4$ となり、上限 $1/2^2$ と等しい。証明の不等号で等号になるには、捨てた項がすべて0（他のデータが平均に一致）で、残した項がすべてちょうど $k\hat\sigma$ 離れている必要がある。この例はその条件を満たす。
25. 2.6-4 $\bar x=4$、$\lvert x_i-4\rvert =3,2,2,3$ で平均絶対偏差は $10/4=2.5$。$\hat\sigma^2=(9+4+4+9)/4=6.5$、$\hat\sigma\approx2.550$。$2.5\le2.550$。
26. 2.7-1 $\bar y=a\bar x$ なので $y_i-\bar y=a(x_i-\bar x)$、$\hat\sigma_y=\sqrt{\frac1n\sum_ia^2(x_i-\bar x)^2}=a\hat\sigma_x$（$a>0$）。$\mathrm{CV}_y=a\hat\sigma_x/(a\bar x)=\mathrm{CV}_x$。
27. 2.7-2 標準偏差では A の 5 g が B の 1.2 g より大きい。変動係数では A が $5/250=0.020$、B が $1.2/40=0.030$ で、B のほうが相対的に散らばっている。重さの水準が大きく違うので、変動係数で比べるのが適切である。
28. 2.7-3 変動係数はどちらも $10/50=0.2$。標準誤差は $n=25$ で $10/5=2$、$n=100$ で $10/10=1$。変動係数は $n$ によらず、標準誤差は $1/\sqrt n$ に比例して小さくなる。
29. 2.7-4 $x_i\ge0$ なので $\bigl(\sum_ix_i\bigr)^2=\sum_ix_i^2+2\sum_{i<j}x_ix_j\ge\sum_ix_i^2$。両辺を $n$ で割ると $n\bar x^2\ge\overline{x^2}$。計算公式から $\hat\sigma^2=\overline{x^2}-\bar x^2\le(n-1)\bar x^2$ で、平方根をとって $\bar x$ で割れば $\mathrm{CV}\le\sqrt{n-1}$。等号は $\sum_{i<j}x_ix_j=0$、すなわち正の値をとるデータが1個だけのとき成り立つ。例：$n=4$ で $0,0,0,8$ なら $\bar x=2$、$\hat\sigma^2=64/4-4=12$、$\mathrm{CV}=\sqrt{12}/2=\sqrt3=\sqrt{n-1}$。