この章のまとめと試験での出方

(1) 第4章 §4.3・§4.5。$\theta>0$ なので $\int_0^1x^{\theta-1}\,\mathrm{d} x=\bigl[x^\theta/\theta\bigr]_0^1=1/\theta$（$\theta<1$ では $x\to0$ で被積分関数が発散するが、積分は収束する）。$c/\theta=1$ から $c=\theta$。$0<x<1$ で $F(x)=\int_0^x\theta t^{\theta-1}\,\mathrm{d} t=x^\theta$、$x\le0$ で $0$、$x\ge1$ で $1$。中央値は $m^\theta=\frac12$ から $m=2^{-1/\theta}$。

(2) 第4章 §4.6・§4.7。$E[X]=\int_0^1\theta x^\theta\,\mathrm{d} x=\dfrac{\theta}{\theta+1}$、$E[X^2]=\int_0^1\theta x^{\theta+1}\,\mathrm{d} x=\dfrac{\theta}{\theta+2}$。よって

$$V[X]=\frac{\theta}{\theta+2}-\frac{\theta^2}{(\theta+1)^2}=\frac{\theta(\theta+1)^2-\theta^2(\theta+2)}{(\theta+2)(\theta+1)^2}=\frac{\theta}{(\theta+2)(\theta+1)^2}.$$

分子は $\theta(\theta^2+2\theta+1)-\theta^3-2\theta^2=\theta$ と整理した。

(3) 第4章 §4.5、第6章。$0<X<1$ なので $Y=-\log X>0$。$y>0$ について、$-\log X\le y$ は $X\ge e^{-y}$ と同じなので

$$F_Y(y)=P(X\ge e^{-y})=1-F(e^{-y})=1-e^{-\theta y},\qquad f_Y(y)=F_Y'(y)=\theta e^{-\theta y}\quad(y>0).$$

$y\le0$ では $F_Y(y)=0$。これは密度 $\theta e^{-\theta y}$ の指数分布 $\mathrm{Ex}(\theta)$ である。部分積分により $E[Y]=\int_0^\infty y\,\theta e^{-\theta y}\,\mathrm{d} y=\bigl[-ye^{-\theta y}\bigr]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\theta y}\,\mathrm{d} y=\dfrac1\theta$。同様に $E[Y^2]=\int_0^\infty y^2\theta e^{-\theta y}\,\mathrm{d} y=\dfrac{2}{\theta}E[Y]=\dfrac2{\theta^2}$（部分積分で $y^2$ を1回微分する）なので$V[Y]=\dfrac2{\theta^2}-\dfrac1{\theta^2}=\dfrac1{\theta^2}$。

(4) 第4章 §4.7、第7章、第8章。Chebyshev の不等式 (4.10) を $\bar Y$ に使うと

$$P\Bigl(\Bigl|\bar Y-\frac1\theta\Bigr|\ge\varepsilon\Bigr)\le\frac{V[\bar Y]}{\varepsilon^2}=\frac{1}{n\theta^2\varepsilon^2}.$$

$\theta$ と $\varepsilon$ を固定して $n\to\infty$ とすると右辺は $0$ に近づき、左辺は $0$ 以上なので $0$ に近づく（第8章の大数の法則のこの場合の証明になっている）。$\theta=2$、$n=100$、$\varepsilon=0.1$ では上界は $\dfrac{1}{100\cdot4\cdot0.01}=0.25$。一方、$\bar Y$ の標準偏差は $\sqrt{1/(n\theta^2)}=\sqrt{1/400}=0.05$ なので $\varepsilon=0.1$ は $2$ 標準偏差に当たり、中心極限定理による近似値は $2\{1-\Phi(2)\}=0.0455$ である。Chebyshev の上界は正しいが、実際の確率の約5倍の大きさがある。