確認テストの解答

統計学の復習　第4章 §4.9

§4.1 確率変数と確率分布

1. 4.1-1 (a) 離散型（値は $0,1,2,\dots$）。(b) 連続型。(c) 離散型（値は $2,\dots,12$）。(d) 連続型（測定の桁を丸める前の量として）。
2. 4.1-2 表の枚数を $H$ とすると裏は $3-H$ 枚なので $X=H-(3-H)=2H-3$。$H=0,1,2,3$ の確率は $\frac18,\frac38,\frac38,\frac18$ なので、$X=-3,-1,1,3$ の確率がそれぞれ $\frac18,\frac38,\frac38,\frac18$。
3. 4.1-3 36通りの目の組のうち、差が $d$ になる組を数える。$d=0$ は $(1,1),\dots,(6,6)$ の6通り。$d\ge1$ では大きい方が小さい方より $d$ 大きい組が $6-d$ 通りあり、どちらのサイコロが大きいかで2倍して $2(6-d)$ 通り。よって $P(Y=0)=\frac6{36}$、$P(Y=d)=\frac{2(6-d)}{36}$（$d=1,\dots,5$）、すなわち$\frac{6}{36},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}$。和は $\frac{36}{36}=1$。
4. 4.1-4 $Y=2-X$ で、$P(Y=y)=P(X=2-y)$。$X$ の分布 $\frac14,\frac12,\frac14$ は値 $0,1,2$ について左右対称なので $P(X=2-y)=P(X=y)$、よって分布は同じ。$X=Y$ は $X=2-X$、すなわち $X=1$ と同じなので $P(X=Y)=\frac12$、$P(X\ne Y)=\frac12$。分布が同じでも、確率変数としては半分の確率で異なる値をとる。分布は値ごとの確率だけを記録し、2つの確率変数の値の関係は記録しない。

§4.2 離散型確率分布と確率関数

1. 4.2-1 $\sum_{x=1}^4(5-x)=4+3+2+1=10$ なので $c=\frac1{10}$。$P(X\le2)=\frac{4+3}{10}=\frac7{10}$。
2. 4.2-2 $\sum_{k\ge0}3^{-k}=\frac{1}{1-1/3}=\frac32$ なので $c=\frac23$。$P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-\frac23-\frac29=\frac19$。
3. 4.2-3 $P(X\text{ が奇数})=\sum_{m\ge1}(1/2)^{2m-1}=\frac{1/2}{1-1/4}=\frac23$。$P(X\ge k)=\sum_{j\ge k}(1/2)^j=\frac{(1/2)^k}{1-1/2}=(1/2)^{k-1}$。
4. 4.2-4 条件 (i) を $x=2$ に使うと $2c\ge0$、$x=-1$ に使うと $-c\ge0$ なので $c=0$ しかありえない。しかし $c=0$ では総和が $0$ になり条件 (ii) を満たさない。よってどの $c$ でも確率関数にならない。

§4.3 連続型確率分布と確率密度関数

1. 4.3-1 $\int_{-1}^1(1-x^2)\,\mathrm{d} x=2-\frac23=\frac43$ なので $c=\frac34$。$P(\lvert X\rvert \le\frac12)=\frac34\int_{-1/2}^{1/2}(1-x^2)\,\mathrm{d} x=\frac34\Bigl(1-\frac{2}{3}\cdot\frac18\Bigr)=\frac34\cdot\frac{11}{12}=\frac{11}{16}$。
2. 4.3-2 $\int_1^\infty x^{-2}\,\mathrm{d} x=\bigl[-x^{-1}\bigr]_1^\infty=1$ なので $c=1$。$P(X>3)=\int_3^\infty x^{-2}\,\mathrm{d} x=\frac13$。
3. 4.3-3 $f\ge0$ は明らか。$\int_0^1\frac{1}{2\sqrt x}\,\mathrm{d} x=\bigl[\sqrt x\bigr]_0^1=1$（$x\to0$ で被積分関数は発散するが、広義積分は収束する）。$x\to+0$ で $f(x)\to\infty$ なので $f$ は有界でない。$P(X\le\frac14)=\bigl[\sqrt x\bigr]_0^{1/4}=\frac12$。
4. 4.3-4 $F_Y(y)=P(100X\le y)=F_X(y/100)$ を微分して $f_Y(y)=\frac1{100}f_X(y/100)=\frac{2}{100}=\frac1{50}$（$0\le y\le50$）、それ以外で $0$。$P(0.1\le X\le0.2)=2\times0.1=0.2$、$P(10\le Y\le20)=\frac1{50}\times10=0.2$ で一致する。密度の数値は $2$ から $\frac1{50}$ に変わるが、確率は変わらない。

§4.4 連続型確率分布と確率

1. 4.4-1 (a) $P(X<3)=P(X\in\{1,2\})=\frac13$、$P(X\le3)=\frac12$。(b) $P(X<1)=P(X\le1)=\int_0^1\frac x2\,\mathrm{d} x=\frac14$。離散型では $P(X=3)=\frac16>0$ なので等号の有無で確率が変わるが、連続型では $P(X=1)=0$ なので変わらない。
2. 4.4-2 $\int_1^22e^{-2x}\,\mathrm{d} x=\bigl[-e^{-2x}\bigr]_1^2=e^{-2}-e^{-4}\approx0.1353-0.0183=0.1170$。
3. 4.4-3 $P(X>t)=1-t^3$ なので $P(X>\frac12)=\frac78$、$P(X>\frac14)=\frac{63}{64}$。$\{X>\frac12\}\subset\{X>\frac14\}$ なので、求める確率は $\frac{7/8}{63/64}=\frac{56}{63}=\frac89$。
4. 4.4-4 集合 $\{1,\frac12,\frac13,\dots\}$ は番号の付いた点 $a_j=1/j$ の集まりで、事象 $\{X=a_j\}$ は互いに排反である。確率の可算加法性と命題 4.5 から $P\bigl(X\in\{a_1,a_2,\dots\}\bigr)=\sum_jP(X=a_j)=\sum_j0=0$。

§4.5 累積分布関数

1. 4.5-1 $F(0)=0$、$F(2.999)=P(X\le2)=\frac13$、$F(3.5)=P(X\le3)=\frac12$、$F(6)=1$。$P(2<X\le5)=F(5)-F(2)=\frac56-\frac26=\frac12$。
2. 4.5-2 $f(x)=F'(x)=\frac13e^{-x/3}$（$x\ge0$）、$x<0$ で $0$。$P(2<X\le5)=F(5)-F(2)=e^{-2/3}-e^{-5/3}\approx0.5134-0.1889=0.3245$。中央値は $1-e^{-m/3}=\frac12$ から $m=3\log2\approx2.079$。
3. 4.5-3 $Y=X^2$ は $[0,1]$ の値をとる。$0\le y\le1$ について、$X^2\le y$ は $-\sqrt y\le X\le\sqrt y$ と同じなので、密度の対称性から

$$F_Y(y)=2\int_0^{\sqrt y}(1-x)\,\mathrm{d} x=2\Bigl(\sqrt y-\frac y2\Bigr)=2\sqrt y-y.$$

$y<0$ で $0$、$y>1$ で $1$。微分して $f_Y(y)=\dfrac1{\sqrt y}-1$（$0<y\le1$）。確かめとして $\int_0^1(y^{-1/2}-1)\,\mathrm{d} y=2-1=1$。4. 4.5-4 $a<0$ では $aX+b\le y$ は $X\ge(y-b)/a$ と同じ（負の数で割ると不等号の向きが変わる）。1点の確率は $0$ なので$F_Y(y)=1-F_X\bigl(\frac{y-b}{a}\bigr)$。$y$ で微分すると $f_Y(y)=-\frac1af_X\bigl(\frac{y-b}{a}\bigr)=\frac1{\lvert a\rvert }f_X\bigl(\frac{y-b}{a}\bigr)$。

§4.6 確率変数の期待値

1. 4.6-1 $E[X]=\frac{1+2+\cdots+6}{6}=\frac72$、$E[2X+1]=2\cdot\frac72+1=8$、$E[X^2]=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}6$。
2. 4.6-2 $E[X]=\int_0^\infty x\cdot2e^{-2x}\,\mathrm{d} x=\bigl[-xe^{-2x}\bigr]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-2x}\,\mathrm{d} x=0+\frac12=\frac12$。$E[e^X]=\int_0^\infty e^x\cdot2e^{-2x}\,\mathrm{d} x=2\int_0^\infty e^{-x}\,\mathrm{d} x=2$。
3. 4.6-3 $\int_1^R x\cdot x^{-2}\,\mathrm{d} x=\log R\to\infty$（$R\to\infty$）なので積分は収束せず、$E[X]$ は存在しない。$E[\sqrt X]=\int_1^\infty x^{1/2}x^{-2}\,\mathrm{d} x=\int_1^\infty x^{-3/2}\,\mathrm{d} x=\bigl[-2x^{-1/2}\bigr]_1^\infty=2$。
4. 4.6-4 $P(X\ge k)=\sum_{j\ge k}p(j)$ を足し合わせ、和の順序を入れ替える（項はすべて非負なので許される）。

$$\sum_{k=1}^\infty P(X\ge k)=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=k}^\infty p(j)=\sum_{j=1}^\infty\sum_{k=1}^{j}p(j)=\sum_{j=1}^\infty j\,p(j)=E[X].$$

2行目の2つ目の等号は、各 $j$ について $p(j)$ が $k=1,\dots,j$ の $j$ 回数えられることによる。サイコロの大きい方では $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)=1-\frac{(k-1)^2}{36}$ なので$\sum_{k=1}^6\Bigl(1-\frac{(k-1)^2}{36}\Bigr)=6-\frac{0+1+4+9+16+25}{36}=6-\frac{55}{36}=\frac{161}{36}$ で一致する。

§4.7 確率変数の分散

1. 4.7-1 $V[X]=\frac{91}6-\bigl(\frac72\bigr)^2=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}$。$V[-3X+2]=(-3)^2\cdot\frac{35}{12}=\frac{105}4$。
2. 4.7-2 $E[U]=\int_0^1u\,\mathrm{d} u=\frac12$、$E[U^2]=\int_0^1u^2\,\mathrm{d} u=\frac13$ なので $V[U]=\frac13-\frac14=\frac1{12}$。定理 4.13 (2) から $V[a+(b-a)U]=(b-a)^2V[U]=\frac{(b-a)^2}{12}$。
3. 4.7-3 $E[X]=\int_0^16x^2(1-x)\,\mathrm{d} x=6\bigl(\frac13-\frac14\bigr)=\frac12$、$E[X^2]=\int_0^16x^3(1-x)\,\mathrm{d} x=6\bigl(\frac14-\frac15\bigr)=\frac3{10}$、$V[X]=\frac3{10}-\frac14=\frac1{20}$。
4. 4.7-4 任意の $\varepsilon>0$ について、Chebyshev の不等式から $P(\lvert X-\mu\rvert \ge\varepsilon)\le0/\varepsilon^2=0$。$\varepsilon=1/j$（$j=1,2,\dots$）とすると、事象 $\{\lvert X-\mu\rvert \ge1/j\}$ は $j$ について増加し、合わせると $\{X\ne\mu\}$ になる。確率の連続性から $P(X\ne\mu)=\lim_{j\to\infty}P(\lvert X-\mu\rvert \ge1/j)=0$、よって $P(X=\mu)=1$。
5. 4.7-5 部分積分で $E[X]=\int_0^\infty x\cdot\frac12e^{-x/2}\,\mathrm{d} x=2$、$E[X^2]=\int_0^\infty x^2\cdot\frac12e^{-x/2}\,\mathrm{d} x=8$、$V[X]=8-4=4$（$\sigma=2$）。Chebyshev の上界は $4/4^2=\frac14$。実際には $X\ge0$ なので $\lvert X-2\rvert \ge4$ は $X\ge6$ と同じで、$P(X\ge6)=e^{-3}\approx0.0498$。