確認テストの解答

統計学の復習　第5章 §5.6

§5.1 二項分布

1. 5.1-1 $V=p(1-p)=p-p^2$ である。$p$ で微分すると $1-2p$ で、$p=1/2$ で $0$ になり、その前後で正から負に変わるので最大である。最大値は $1/2\cdot1/2=1/4$。
2. 5.1-2 $P(X=0)=0.75^8=0.100113$、$P(X=1)=8\times0.25\times0.75^7=2\times0.133484=0.266968$ なので、$P(X\le1)=0.3671$。余事象で $P(X\ge2)=1-0.367081=0.6329$。
3. 5.1-3 独立性から

$$P(X+Y=k)=\sum_j\binom mjp^jq^{m-j}\binom n{k-j}p^{k-j}q^{n-k+j}=p^kq^{m+n-k}\sum_j\binom mj\binom n{k-j}$$

である（$j$ は $\binom mj\binom n{k-j}$ が $0$ でない範囲を動く）。Vandermonde の等式：$m+n$ 個の玉のうち最初の $m$ 個を赤、残りの $n$ 個を白とする。$k$ 個を選ぶ $\binom{m+n}k$ 通りを、選んだ赤の個数 $j$ で分けると、赤から $j$ 個、白から $k-j$ 個を選ぶ方法は $\binom mj\binom n{k-j}$ 通りで、$j$ について足すと全体になる。よって $P(X+Y=k)=\binom{m+n}kp^kq^{m+n-k}$ で、$X+Y\sim\mathrm{Bin}(m+n,p)$ である。4. 5.1-4 $E[\hat p]=E[X]/n=p$、$V[\hat p]=V[X]/n^2=p(1-p)/n$（第4章の $V[aX]=a^2V[X]$）。$p=0.5$ では標準偏差が $\sqrt{0.25/n}=0.5/\sqrt n$ で、$0.5/\sqrt n\le0.02$ は $\sqrt n\ge25$、すなわち $n\ge625$。最小値は $625$。

§5.2 ポアソン分布

1. 5.2-1 $\dfrac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=\dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda}\lambda^k/k!}{\mathrm{e}^{-\lambda}\lambda^{k-1}/(k-1)!}=\dfrac\lambda k$。これは $k<\lambda$ で $1$ より大きく、$k>\lambda$ で $1$ より小さい。$\lambda=3.5$ では $k\le3$ まで増え $k\ge4$ で減るので最頻値は $3$。$\lambda=3$ では $k=3$ で比がちょうど $1$ なので $P(X=2)=P(X=3)=\mathrm{e}^{-3}\cdot4.5=0.2240$ で、最頻値は $2$ と $3$ の2つ。
2. 5.2-2 10頁では $\lambda=0.5\times10=5$。

$$P(X\le3)=\mathrm{e}^{-5}\Bigl(1+5+\frac{25}2+\frac{125}6\Bigr)=0.0067379\times39.3333=0.2650.$$ 3. 5.2-3 $k=0,1$ の項は $k(k-1)=0$ なので $k\ge2$ から和をとり、$k(k-1)/k!=1/(k-2)!$ と $j=k-2$ の置き直しを使って

$$E[X(X-1)]=\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=2}^\infty\frac{\lambda^k}{(k-2)!}=\lambda^2\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{j=0}^\infty\frac{\lambda^j}{j!}=\lambda^2.$$ 4. 5.2-4 $n<y$ の項は $0$ なので $n\ge y$ で和をとる。$n!$ を約分し、$m=n-y$ と置くと

$$\begin{aligned} P(Y=y)&=\sum_{n=y}^\infty\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\frac{n!}{y!(n-y)!}p^y(1-p)^{n-y}=\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{(\lambda p)^y}{y!}\sum_{m=0}^\infty\frac{(\lambda(1-p))^m}{m!}\\ &=\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{(\lambda p)^y}{y!}\mathrm{e}^{\lambda(1-p)}=\mathrm{e}^{-\lambda p}\frac{(\lambda p)^y}{y!}. \end{aligned}$$

よって $Y\sim\mathrm{Po}(\lambda p)$。ポアソン分布に従う個数を確率 $p$ で独立にふるい分けると、残りもポアソン分布に従い、平均は $p$ 倍になる（総合問題で $Y$ と $N-Y$ の独立性まで示す）。

§5.3 幾何分布と負の二項分布

1. 5.3-1 $j=k+1+i$（$i\ge0$）と置き直すと

$$\sum_{j=k+1}^\infty q^{j-1}p=pq^k\sum_{i=0}^\infty q^i=pq^k\cdot\frac1{1-q}=q^k.$$ 2. 5.3-2 $P(Y=k)=P(X=k+1)=q^kp$（$k=0,1,2,\dots$）。$E[Y]=E[X]-1=1/p-1=q/p$。$V[Y]=V[X-1]=V[X]=q/p^2$（定数を引いても分散は変わらない）。3. 5.3-3 定理 5.9 の後半から、$X$ は $p=P(X=1)=0.2$ の幾何分布に従う（$P(X=1)=1-P(X>1)$）。$P(X=4)=0.8^3\times0.2=0.1024$、$P(X\ge4)=P(X>3)=0.8^3=0.512$。4. 5.3-4 戻して引くので各回は独立で当たりの確率は $0.2$ のままであり、$X$ は $r=2$、$p=0.2$ の負の二項分布に従う。$E[X]=2/0.2=10$、$V[X]=2\times0.8/0.04=40$。$P(X\le4)=P(W\ge2)$、$W\sim\mathrm{Bin}(4,0.2)$ で、$P(W=0)=0.8^4=0.4096$、$P(W=1)=4\times0.2\times0.8^3=0.4096$ だから $P(X\le4)=1-0.8192=0.1808$。負の二項分布の側からは $P(X=2)=0.04$、$P(X=3)=\binom21\,0.04\times0.8=0.064$、$P(X=4)=\binom31\,0.04\times0.64=0.0768$ で、和は $0.1808$ と一致する。

§5.4 超幾何分布

1. 5.4-1 $X\sim\mathrm{HG}(10,4,3)$。$P(X=2)=\binom42\binom61/\binom{10}3=6\times6/120=0.3$。$p=0.4$ として $E[X]=3\times0.4=1.2$、$V[X]=3\times0.4\times0.6\times\frac{10-3}{10-1}=0.72\times\frac79=0.56$。
2. 5.4-2 1個目が当たりなら、残り $N-1$ 個の中の当たりは $M-1$ 個なので $P(I_2=1\mid I_1=1)=(M-1)/(N-1)$。乗法定理から$P(I_1=1,I_2=1)=\frac MN\cdot\frac{M-1}{N-1}$ で、本文の $E[I_iI_j]$ と同じ値になる。$E[I_1]=E[I_2]=M/N$ を引いて$\mathrm{Cov}(I_1,I_2)=\frac{M(M-1)}{N(N-1)}-\frac{M^2}{N^2}=-\frac{M(N-M)}{N^2(N-1)}$ となる。
3. 5.4-3 $N=1000$ では $(1000-20)/(1000-1)=980/999=0.9810$ で、二項分布の分散は正しい分散の $1/0.9810=1.019$ 倍、約 $1.9\%$ 大きく見積もる。$N=50$ では $30/49=0.6122$ で、二項分布の分散は正しい分散の $1/0.6122=1.633$ 倍になり、約 $63\%$ 大きく見積もる。抜き取りの割合 $n/N$ が $2\%$ なら修正は無視できるが、$40\%$ では無視することはできない。
4. 5.4-4 当選番号6個を「当たり」、残り34個を「はずれ」とした40個の箱から、自分の6個を戻さずに選んだと見ると $X\sim\mathrm{HG}(40,6,6)$。$\binom{40}6=3838380$、$\binom{34}3=5984$、$\binom{34}2=561$ で、

$$\begin{aligned} P(X\ge3)&=\frac{\binom63\binom{34}3+\binom64\binom{34}2+\binom65\binom{34}1+\binom66}{\binom{40}6}\\ &=\frac{119680+8415+204+1}{3838380}=\frac{128300}{3838380}=0.0334. \end{aligned}$$

$E[X]=6\times6/40=0.9$。