$F$ 分布と $F$ 分布表

統計学の復習　第15章 §15.1　★★★ 独立な $\chi^2$ を自由度で割った比が $F_{m,n}$。逆数をとると自由度が入れ替わるので、下側の点は $1/F_{n,m}(\alpha)$ で引く

この章は、対策本の第27章（$F$ 分布と等分散性の検定）・第28章（分散分析と一元配置）・第29章（二元配置）に当たる。

第10章と第11章では、平均の区間を $t$ 分布で、分散の区間を $\chi^2$ 分布で作った。この章で扱うのは、2つの分散を比べる問題と、3つ以上の平均を比べる問題である。一見すると別々の問題だが、どちらも「独立な2つの $\chi^2$ 変数を自由度で割って比をとる」という同じ量に行き着く。その比の分布が $F$ 分布である。

この章で作る道具は次のとおりである。第一に、$F$ 分布を定義し、密度・期待値・逆数の性質 $F_{m,n}(1-\alpha)=1/F_{n,m}(\alpha)$・$t^2$ との関係を導く（§15.1）。第二に、2つの正規母集団の分散が等しいかを $F$ で検定し、分散の比の区間を作り、等分散を仮定しない Welch の検定の自由度がどこから出るかを説明する（§15.2）。第三に、$t$ 検定を繰り返すと誤りの確率が膨らむこと（検定の多重性）を確かめ、それを避ける分散分析の考え方を立てる（§15.3）。第四に、一元配置・繰り返しのある二元配置・繰り返しのない二元配置の分散分析を、平方和の分解と平均平方の期待値まで導く（§15.4〜§15.6）。

木下が2級の直前に「型」で押さえただけになっていたのは、等分散の $F$ 検定が予備検定にすぎないこと、Welch の自由度の意味、平方和の分解で交差項が消える理由、交互作用と繰り返しの関係の4点である。この章ではこの4点を導出から書く。1級との関係では、分散分析の $F$ が $F$ 分布に従うことの一般の証明（Cochran の定理）を数理統計の解説 第9章 §9.5 で、データの構造式と期待平均平方による分散分析を実験計画法の解説 第2章〜第6章で扱う。この章はその前提を2級の道具で準備する。

定義

第11章で示したように、$\chi^2_\nu$ は独立な標準正規変数 $\nu$ 個の2乗和の分布で、期待値は $\nu$ である。したがって $U/m$ と $V/n$ はどちらも期待値 $1$ の正の確率変数で、自由度が大きいほど $1$ の近くに集まる。$F$ はその比なので $1$ の近くに山を持ち、正の値だけをとる。順序が意味を持つことに注意する。$F_{m,n}$ と $F_{n,m}$ は $m\ne n$ なら別の分布である。

この定義が統計で現れるのは、正規母集団の不偏分散 $S^2$ について第11章の定理（$(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$）があるからである。独立な2つの標本の不偏分散を $S_1^2,S_2^2$（大きさ $n_1,n_2$、母分散 $\sigma_1^2,\sigma_2^2$）とすると、$U=(n_1-1)S_1^2/\sigma_1^2$ と $V=(n_2-1)S_2^2/\sigma_2^2$ は独立な $\chi^2_{n_1-1}$ と $\chi^2_{n_2-1}$ なので

$$\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}=\frac{U/(n_1-1)}{V/(n_2-1)}\sim F_{n_1-1,\,n_2-1}\tag{15.2}$$

である。§15.2 の等分散性の検定と分散の比の区間は、すべてこの式から出る。

密度を導く

$\chi^2_\nu$ の密度は第11章で導いた

$$f_\nu(x)=c_\nu\,x^{\nu/2-1}\mathrm{e}^{-x/2}\quad(x>0),\qquad c_\nu=\frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)}$$

である。$F$ の密度を求める前に、比 $Y=U/V$ の密度を出す。$y>0$ を固定すると、$V$ の値で条件をつけて

$$P(Y\le y)=P(U\le yV)=\int_0^\infty f_n(v)\,P(U\le yv)\,\mathrm{d} v=\int_0^\infty f_n(v)\,G_m(yv)\,\mathrm{d} v$$

と書くことができる。ここで $G_m$ は $\chi^2_m$ の累積分布関数で、2つ目の等号は $U$ と $V$ の独立性による。両辺を $y$ で微分し、積分の中で微分すると（被積分関数が十分に滑らかで、2級の範囲ではこの交換を認める）、$G_m'=f_m$ から

$$f_Y(y)=\int_0^\infty v\,f_n(v)\,f_m(yv)\,\mathrm{d} v =c_mc_n\,y^{m/2-1}\int_0^\infty v^{(m+n)/2-1}\mathrm{e}^{-v(1+y)/2}\,\mathrm{d} v$$

となる。残った積分は $w=v(1+y)/2$ と置換すると $\bigl(2/(1+y)\bigr)^{(m+n)/2}\Gamma\bigl((m+n)/2\bigr)$ になる。$c_mc_n=1/\bigl(2^{(m+n)/2}\Gamma(m/2)\Gamma(n/2)\bigr)$ なので $2$ のべきが消えて

$$f_Y(y)=\frac{\Gamma\bigl(\frac{m+n}2\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac m2\bigr)\Gamma\bigl(\frac n2\bigr)}\;y^{m/2-1}(1+y)^{-(m+n)/2}\qquad(y>0)$$

である。最後に $F=(n/m)Y$ なので、$P(F\le x)=P(Y\le mx/n)$ を $x$ で微分して $f_F(x)=(m/n)\,f_Y(mx/n)$ を得る。

2級の試験で密度の式を使うことはほとんどない。それでもここで導いたのは、1級の統計数理では「独立な2変数の比の分布を求めよ」という小問がこの形の積分で問われるからである。$m=n=2$ のときは $\Gamma(2)=\Gamma(1)=1$ で $f(x)=(1+x)^{-2}$ となり、$P(F>c)=1/(1+c)$ と閉じた形で計算することができる（確認テスト 15.1-4）。

期待値・逆数・$t$ 分布との関係

証明

(1) 定義 (15.1) で $U$ と $V$ は独立なので、$E[F]=E[U/m]\,E[n/V]=1\cdot n\,E[1/V]$ である。第10章で $t$ 分布の分散を求めたとき、$V\sim\chi^2_n$（$n\ge3$）について $E[1/V]=1/(n-2)$ を密度の積分から導いた。したがって $E[F]=n/(n-2)$ である。期待値が分子の自由度 $m$ によらないのは、分子の $U/m$ の期待値がいつも $1$ だからである。

(2) $1/F=(V/n)/(U/m)$ は、独立な $\chi^2_n$ と $\chi^2_m$ をそれぞれの自由度で割った比なので、定義から $F_{n,m}$ に従う。$c=1/F_{n,m}(\alpha)$ と置くと

$$P(F<c)=P\!\left(\frac1F>\frac1c\right)=P\bigl(1/F>F_{n,m}(\alpha)\bigr)=\alpha$$

である（$F>0$ なので逆数をとると不等号の向きが変わる）。$P(F<c)=\alpha$ は $P(F>c)=1-\alpha$ と同じで、$c$ は上側 $100(1-\alpha)\%$ 点、すなわち $F_{m,n}(1-\alpha)$ である。

(3) $t$ 分布の定義（第10章）から、$Z\sim\mathrm N(0,1)$ と $V\sim\chi^2_n$ が独立で $T=Z/\sqrt{V/n}$ と書ける。$T^2=(Z^2/1)/(V/n)$ で、$Z^2\sim\chi^2_1$ は $V$ と独立なので $T^2\sim F_{1,n}$ である。$t_n$ は $0$ について対称なので $P(T^2>c^2)=P(\lvert T\rvert >c)=2P(T>c)$ であり、$c=t_n(\alpha/2)$ と置くと $P(T^2>t_n(\alpha/2)^2)=\alpha$ である。

性質 (3) は、両側 $t$ 検定が右片側の $F$ 検定と同じものであることを意味する。§15.4 で、2群の分散分析がプールした $t$ 検定と一致することを示すときに、この関係を使う。

$F$ 分布表の引き方

$F$ 分布は自由度を2つ持つので、数表は $\alpha$ ごとに1枚ずつ用意され、分子の自由度を列・分母の自由度を行にとるのが普通である。表によって行と列が逆のこともあるので、見出しを必ず確かめる。数表に載っているのは上側の点だけである。下側の点が必要になったら、式 (15.4) で自由度を入れ替えた上側の点の逆数をとる。自由度を入れ替え忘れて $1/F_{m,n}(\alpha)$ とするのが典型的な誤りである。

確認テスト

オリジナル

1. 15.1-1 $F_{4,8}(0.05)=3.838$ のとき、$F_{8,4}(0.95)$ を求めよ。
2. 15.1-2 $t_{15}(0.025)=2.131$ のとき、$F_{1,15}(0.05)$ を求めよ。また、そうなる理由を $t$ 分布と $F$ 分布の定義から説明せよ。
3. 15.1-3 $F_{m,n}$ の分散が有限であるためには $n$ がいくつ以上であればよいか。$E[F^2]=E[(U/m)^2]\,E[(n/V)^2]$ と $E[1/V^2]$ の積分の収束を調べて答えよ（$E[U^2]=m^2+2m$ を使ってよい）。
4. 15.1-4 $m=n=2$ のとき、密度 (15.3) が $(1+x)^{-2}$ になることを確かめ、上側 $5\%$ 点 $F_{2,2}(0.05)$ と下側 $5\%$ 点 $F_{2,2}(0.95)$ を求めよ。