この章のまとめと試験での出方

数理統計　第11章 §11.4

この章では、積分と最大化が手で解けないときの計算法を3つ扱った。モンテカルロ法は期待値を乱数の平均で近似し、誤差は次元によらず $1/\sqrt N$ で減る。

乱数は逆関数法（定理 11.1）か棄却法（定理 11.2、採択確率 $1/M$）で作り、規格化定数の分からない高次元の分布では、詳細つり合いを満たす推移核を持つマルコフ連鎖を走らせる（MH 法、定理 11.7。Gibbs サンプラーはその特別な場合）。連鎖の標本は自己相関を持つので、平均の分散は独立な場合より大きくなる（例題 11.2）。

ブートストラップ法は母集団分布を経験分布で置き換え、推定量の標準誤差・偏り・信頼区間をプラグインで推定する。標本の積率で書ける推定量なら、ブートストラップ分布の平均と分散は経験分布の積率から厳密に計算できる（命題 11.11）。中央値のような順序統計量でも、選ばれる個数が二項分布に従うことから分布が書ける（例題 11.3）。ジャックナイフは分散の偏りを完全に除き、不偏分散に一致する（命題 11.12）。

最尤推定値の計算では、Newton 法（2次収束・初期値に敏感、定理 11.13）、スコア法（期待情報量を使い安定）、EM アルゴリズム（尤度を単調に増やす・1次収束、定理 11.15）を扱った。EM の収束率は欠測情報の割合 (11.18) に等しい。

1級の統計数理（90分で5問から3問を選ぶ記述式）で、この章の内容が大問として出るとすれば、次のような小問の連鎖になる。

• 欠測や打ち切りのあるモデルの観測データの尤度を書く → 完全データの尤度を書く → 欠測部分の条件付き期待値を求めて $Q$ を作る（E ステップ）→ $Q$ を最大化して更新式を導く（M ステップ）→ 不動点が最尤推定量になることと収束率を示す（例題 11.5、確認テスト 11.3-3）。
• 尤度方程式が閉じた形で解けないことを示す → Newton 法やスコア法の更新式を書く → 数回反復して値を出す → 観測情報量から標準誤差を出す（例題 11.4）。
• 目標の密度と提案密度から棄却法の最小の $M$ を求める → 採択確率と平均の試行回数 → 採択された乱数の密度が目標に一致することの証明（例題 11.1）。
• 経験分布の積率からブートストラップ分布の平均・分散を計算する → 偏りと標準誤差の推定 → 不偏推定量との比較（命題 11.11、確認テスト 11.2-3）。

2025年の統計数理の5問には計算統計学の題材は無かった。範囲表での位置づけは低いので、試験対策としては EM と Newton 法の更新式の導出（§11.3）を優先し、MCMC とブートストラップは定義と上の厳密計算を確認する程度でよい。尤度の書き方と条件付き期待値の計算は第4章・第6章の道具そのものなので、§11.3 の例題はそれらの復習も兼ねる。