確認テストの解答

確率論入門　第7章 §7.6

7.1 の解答

1. 7.1-1 $X$ の密度は $f(x)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)$ である。(7.7) で $a=c$、$b=0$ とすると

$$f_{cX}(y)=\frac1c\,f\Bigl(\frac yc\Bigr)=\frac\lambda c\,\mathrm{e}^{-(\lambda/c)y}\mathbf 1_{(0,\infty)}(y)$$

で、これは $\mathrm{Ex}(\lambda/c)$ の密度である。時間の単位を $c$ 倍に取り直すと、単位時間あたりの率は $1/c$ 倍になる。2. 7.1-2 $g(x)=\sqrt x$ は正の実数の上で $g'>0$ を満たす。像と逆関数は

$$J=(0,\infty),\qquad h(y)=y^2,\qquad h'(y)=2y$$

である。定理 7.1 から $y>0$ で

$$f_Y(y)=\mathrm{e}^{-y^2}\cdot2y=2y\,\mathrm{e}^{-y^2}.$$

$P(Y>1)=P(X>1)=\mathrm{e}^{-1}\approx0.368$ である。分布関数は $F_Y(y)=P(X\le y^2)=1-\mathrm{e}^{-y^2}$ である。$F_Y(m)=\frac12$ から $m^2=\log2$ となる。中央値は $m=\sqrt{\log2}\approx0.833$ である。3. 7.1-3 $I_1=(-1,0)$ と $I_2=(0,1)$ に分ける。どちらの枝でも $J_k=(0,1)$ であり、

$$h_1(y)=-\sqrt y,\qquad h_2(y)=\sqrt y,\qquad \left\vert h_k'(y)\right\vert =\frac{1}{2\sqrt y}$$

である。定理 7.2 から $0<y<1$ で

$$f_Y(y)=\Bigl(\frac{1-\sqrt y}{2}+\frac{1+\sqrt y}{2}\Bigr)\frac{1}{2\sqrt y}=\frac{1}{2\sqrt y}.$$

$f$ の非対称な部分 $\frac x2$ は、2つの枝で打ち消し合う。$Y$ は、$X\sim\mathrm U(-1,1)$ のときの2乗と同じ分布になる。

$$P\bigl(Y\le\tfrac14\bigr)=\int_0^{1/4}\frac{\mathrm{d} y}{2\sqrt y}=\sqrt{1/4}=\frac12$$ 4. 7.1-4 $X$ の密度は $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\bigl(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ である。(7.7) から

$$f_{aX+b}(y)=\frac{1}{\left\vert a\right\vert }\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\Bigl(-\frac{((y-b)/a-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr).$$

分子と分母に $a^2$ を掛けると、指数の中は $\frac{(y-b-a\mu)^2}{2a^2\sigma^2}$ と書き直せる。また $\left\vert a\right\vert \sigma=\sqrt{a^2\sigma^2}$ である。したがって

$$f_{aX+b}(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2\sigma^2}}\exp\Bigl(-\frac{(y-(a\mu+b))^2}{2a^2\sigma^2}\Bigr)$$

で、$\mathrm N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ の密度である。$a<0$ でも絶対値と2乗しか現れないので、同じ計算が成り立つ。5. 7.1-5 分布関数を場合分けで求める。

• $y<0$ では、$Y$ は負にならないので分布関数は0である。
• $y\ge0$ では、$\{Y\le y\}=\{X\le y\}$ である。したがって $F_Y(y)=\Phi(y)$ である。

したがって $F_Y$ は0で、0から $\Phi(0)=\frac12$ へ跳ぶ。すなわち $P(Y=0)=\frac12>0$ である。密度を持つ確率変数は原子を持たない（$P(Y=c)=\int_{\{c\}}f=0$）ので、$Y$ は密度を持たない。

$Y$ の分布は、次の2つの混合である。

• 0の原子（重み1/2）。
• $(0,\infty)$ 上の密度 $\phi$ の部分（重み1/2）。

7.2 の解答

1. 7.2-1 $g(x,y)=(x+y,x-y)$ は線形で、行列と行列式は

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad \det A=-2$$

である。(7.11) から $f_{S,D}(s,d)=\frac12\,f\bigl(A^{-1}(s,d)\bigr)$ である。$A^{-1}(s,d)=\bigl(\frac{s+d}2,\frac{s-d}2\bigr)$ が単位正方形に入るときに $f=1$ となる。したがって

$$f_{S,D}(s,d)=\frac12\qquad\Bigl(0<\frac{s+d}{2}<1,\ 0<\frac{s-d}{2}<1\Bigr)$$

で、それ以外では0である。値をとる範囲は $\left\vert d\right\vert <s<2-\left\vert d\right\vert$ である。これは頂点 $(0,0),(1,1),(2,0),(1,-1)$ の正方形で、面積2に密度1/2が一様に乗る。2. 7.2-2 $g(x,y)=(xy,x)$ は、$(0,1)^2$ から次の集合への全単射である。

$$V=\{(z,w):0<z<w<1\},\qquad h(z,w)=g^{-1}(z,w)=(w,z/w)$$

ヤコビ行列と行列式は

$$Dh=\begin{pmatrix}0&1\\1/w&-z/w^2\end{pmatrix},\qquad \det Dh=-\frac1w$$

だから、$0<z<w<1$ で $f_{Z,W}(z,w)=\frac1w$ である。$w$ について積分すると、$0<z<1$ で

$$f_Z(z)=\int_z^1\frac{\mathrm{d} w}{w}=-\log z.$$

分布関数と求める確率は

$$F_Z(z)=\int_0^z(-\log t)\,\mathrm{d} t=z-z\log z,\qquad P\bigl(Z\le\tfrac12\bigr)=\frac12+\frac12\log2\approx0.847$$

である。3. 7.2-3 $(U,V)=Q(X,Y)$ と書ける。ここで

$$Q=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad QQ^\top=I,\qquad \left\vert \det Q\right\vert =1$$

であり、$Q$ は直交行列である。(7.11) から

$$f_{U,V}(u,v)=f\bigl(Q^{-1}(u,v)\bigr)=\frac{1}{2\pi}\exp\Bigl(-\frac12\left\vert Q^{-1}(u,v)\right\vert ^2\Bigr)=\frac{1}{2\pi}\mathrm{e}^{-(u^2+v^2)/2}.$$

直交行列は長さを保つので、$\left\vert Q^{-1}(u,v)\right\vert ^2=u^2+v^2$ である。右辺は次のように積に分かれる。

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-u^2/2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-v^2/2}$$

したがって $U,V$ は独立で $\mathrm N(0,1)$ に従う。$X+Y=\sqrt2\,U$ で、確認テスト 7.1-4 から $\sqrt2\,U\sim\mathrm N(0,2)$ である。4. 7.2-4 $(X,Y)$ の密度は円板の上で 1/π である。極座標 $(R,\Theta)$ に移ると、定理 7.4 から $(0,1)\times(0,2\pi)$ 上で

$$f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac r\pi=2r\cdot\frac{1}{2\pi}$$

となる。したがって $R$ と $\Theta$ は独立である。また $f_R(r)=2r$、$\Theta\sim\mathrm U(0,2\pi)$ である。$S=R^2$ は、定理 7.1 により $0<s<1$ で

$$f_S(s)=2\sqrt s\cdot\frac{1}{2\sqrt s}=1$$

を満たし、$\mathrm U(0,1)$ に従う。$S$ は $R$ の関数なので、偏角と独立である。

次に $(X,Y)/\sqrt S=(\cos\Theta,\sin\Theta)$ だから

$$\Bigl(X\sqrt{\tfrac{-2\log S}{S}},\ Y\sqrt{\tfrac{-2\log S}{S}}\Bigr)=\bigl(\sqrt{-2\log S}\cos\Theta,\ \sqrt{-2\log S}\sin\Theta\bigr).$$

$S\sim\mathrm U(0,1)$ と $\Theta\sim\mathrm U(0,2\pi)$ は独立である。$\Theta=2\pi U_2$、$S=U_1$ と置けば、右辺は Box–Muller の式 (7.14) と同じ分布を持つ。定理 7.7 から、2つの成分は独立で $\mathrm N(0,1)$ に従う。

正方形 $(-1,1)^2$ 上の一様な点を、円板に入るまで取り直せば、円板上の一様分布が得られる。したがってこの方法は、三角関数を計算せずに正規乱数を作る。

7.3 の解答

1. 7.3-1 (7.15) で2つの測度の役を入れ替える。畳み込みの可換性から

$$(\delta_a*\mu)(B)=(\mu*\delta_a)(B)=\int_{\mathbb{R}}\mu(B-y)\,\delta_a(\mathrm{d} y)$$

と書ける。$\delta_a$ は点 $a$ に質量1を置く測度である。したがって積分は、被積分関数のその点での値 $\mu(B-a)$ になる。確率変数の言葉では、分布 $\mu$ の確率変数に定数を足すと、その分布は $\mu$ をずらしたものになる、ということである。2. 7.3-2 $k\ge2$ について (7.16) から

$$P(X+Y=k)=\sum_{j=1}^{k-1}(1-p)^{j-1}p\,(1-p)^{k-j-1}p=\sum_{j=1}^{k-1}p^2(1-p)^{k-2}=(k-1)p^2(1-p)^{k-2}.$$

和の各項が $j$ によらないので、条件付き確率は一様分布になる。

$$P(X=j\mid X+Y=k)=\dfrac{p^2(1-p)^{k-2}}{(k-1)p^2(1-p)^{k-2}}=\dfrac{1}{k-1}\qquad(j=1,\dots,k-1)$$

$X+Y$ は2回目の成功までの試行回数で、その分布を負の二項分布と呼ぶ（第6章 §6.1）。3. 7.3-3 $z>0$ で (7.18) から

$$f_{X+Y}(z)=\int_0^z\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\mu\mathrm{e}^{-\mu(z-x)}\,\mathrm{d} x=\lambda\mu\mathrm{e}^{-\mu z}\int_0^z\mathrm{e}^{(\mu-\lambda)x}\,\mathrm{d} x=\frac{\lambda\mu}{\mu-\lambda}\bigl(\mathrm{e}^{-\lambda z}-\mathrm{e}^{-\mu z}\bigr).$$

$\mu\to\lambda$ の極限を調べるため、$\mu=\lambda+\varepsilon$ と置く。

$$\mathrm{e}^{-\lambda z}-\mathrm{e}^{-(\lambda+\varepsilon )z}=\mathrm{e}^{-\lambda z}(1-\mathrm{e}^{-\varepsilon z})=\mathrm{e}^{-\lambda z}(\varepsilon z+\mathcal{O}(\varepsilon ^2))$$

だから

$$f_{X+Y}(z)=\frac{\lambda(\lambda+\varepsilon )}{\varepsilon }\mathrm{e}^{-\lambda z}\bigl(\varepsilon z+\mathcal{O}(\varepsilon ^2)\bigr)\to\lambda^2z\,\mathrm{e}^{-\lambda z}$$

となる。これは (7.19) の $n=2$、すなわち $\mathrm{Ga}(2,\lambda)$ の密度に一致する。4. 7.3-4 定理 7.9 の (7.15) を $B=\{z\}$ に使うと、

$$P(X+Y=z)=\int_{\mathbb{R}} P_X(\{z\}-y)\,P_Y(\mathrm{d} y)=\int_{\mathbb{R}} P(X=z-y)\,P_Y(\mathrm{d} y)=\int_{\mathbb{R}}0\,P_Y(\mathrm{d} y)=0.$$

$X$ が原子を持たないので、どの点でも被積分関数が0になるからである。$Y$ が原子を持つかどうかは関係しない。

7.4 の解答

1. 7.4-1 冪級数 (7.22) に $s=0$ を入れると、定数項だけが残る。したがって、任意の非負整数値の $Z$ について $G_Z(0)=P(Z=0)$ が成り立つ。定理 7.14 から

$$P(S_N=0)=G_{S_N}(0)=G_N\bigl(G_X(0)\bigr)=G_N\bigl(P(X_1=0)\bigr)$$

である。意味としては、$n$ 個すべてが0になる確率を、個数の分布で平均したものである。

$$P(S_N=0)=\sum_nP(N=n)P(X_1=0)^n$$ 2. 7.4-2 二項定理と定義から

$$G_N(s)=\sum_k\binom nkq^k(1-q)^{n-k}s^k=(1-q+qs)^n,\qquad G_X(s)=1-p+ps$$

である。定理 7.14 から

$$G_{S_N}(s)=\bigl(1-q+q(1-p+ps)\bigr)^n=\bigl(1-pq+pq\,s\bigr)^n.$$

これは $\mathrm{Bin}(n,pq)$ の確率母関数である。確率母関数は分布を決めるので、$S_N\sim\mathrm{Bin}(n,pq)$ である。各試行が「確率 $q$ で数えられ、さらに確率 $p$ で成功する」と読めば、成功確率がその積の試行を繰り返すのと同じである。3. 7.4-3 $p_0=0$ なので、ランダム和はガンマ分布 $\mathrm{Ga}(n,\lambda)$（個数は1以上）の混合である。(7.21) を $B=(-\infty,z]$ に使い、非負の項の和と積分を入れ替える（単調収束定理）。$m=n-1$ と置いて指数関数の冪級数を使うと、$z>0$ で次の密度が得られる。

$$\begin{aligned}f(z)&=\sum_{n=1}^\infty(1-q)^{n-1}q\,\frac{\lambda^nz^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{e}^{-\lambda z}\\ &=q\lambda\mathrm{e}^{-\lambda z}\sum_{m=0}^\infty\frac{\bigl((1-q)\lambda z\bigr)^m}{m!}=q\lambda\mathrm{e}^{-\lambda z}\mathrm{e}^{(1-q)\lambda z}=q\lambda\,\mathrm{e}^{-q\lambda z}\end{aligned}$$

これは $\mathrm{Ex}(\lambda q)$ の密度である。

平均の確認：$E[S_N]=E[N]E[X_1]=\frac1q\cdot\frac1\lambda$ である。これは $\mathrm{Ex}(\lambda q)$ の平均と一致する。4. 7.4-4 $E[X_1]=\frac32$、$E[X_1^2]=\frac{1+4}{2}=\frac52$ である。定理 7.15 の複合 Poisson の場合から

$$E[S_N]=4\cdot\frac32=6,\qquad V[S_N]=4\cdot\frac52=10.$$

$S_N=2$ となるのは次のどちらかである。

• $N=1$ で $X_1=2$。
• $N=2$ で $X_1=X_2=1$。

したがって

$$P(S_N=2)=4\mathrm{e}^{-4}\cdot\frac12+\frac{4^2}{2}\mathrm{e}^{-4}\cdot\frac14=2\mathrm{e}^{-4}+2\mathrm{e}^{-4}=4\mathrm{e}^{-4}\approx0.0733.$$ 5. 7.4-5 次の事象は $\sigma(X_1,\dots,X_{n-1})$ に属する。

$$\{N\ge n\}=\{S_1\le0,\dots,S_{n-1}\le0\}$$

まとめ方の補題（第4章 §4.2）により、これは $X_n$ と独立である。また $E\left\vert X_1\right\vert =1<\infty$、$E[X_1]=0$ である。

仮に $E[N]<\infty$ なら、定理 7.16 から $E[S_N]=E[N]\cdot0=0$ となる。ところが $N<\infty$ の上では、定義から $S_N=1$ である。$P(N<\infty)=1$ だから $E[S_N]=1$ となる。

$0\ne1$ なので矛盾し、$E[N]=\infty$ でなければならない。$+1$ にはいつか必ず到達するのに、到達までの平均時間は無限大になる。