この章のまとめと試験での出方

(1) $x>0$ で $F(x)=\int_0^x\lambda\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d} t=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ である。$1-\mathrm{e}^{-\lambda x}=u$ を $x$ について解くと $Q(u)=-\frac1\lambda\log(1-u)$ となる。

$$Q_1=Q(1/4)=\frac1\lambda\log\frac43,\qquad Q_3=Q(3/4)=\frac{\log4}{\lambda},\qquad \mathrm{IQR}=\frac{\log4-\log(4/3)}{\lambda}=\frac{\log3}{\lambda}.$$

(2) 上の柵は $Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}=\frac{\log4+1.5\log3}{\lambda}$ である。下の柵は $\frac{\log(4/3)-1.5\log3}{\lambda}=\frac{0.2877-1.6479}{\lambda}<0$ で、$X>0$ なので下に外れる値は無い。上に外れる確率は $P(X>c)=\mathrm{e}^{-\lambda c}$ を使って

$$P\Bigl(X>\frac{\log4+1.5\log3}{\lambda}\Bigr)=\exp\bigl(-\log4-1.5\log3\bigr)=\frac{1}{4\cdot3^{3/2}}\approx0.0481$$

となり、$\lambda$ によらない。正規分布の $0.70\%$ のおよそ7倍である。柵は $Q_1,Q_3$ から左右対称に同じ幅で引くので、対称な分布を念頭に置いた基準である。右に長い裾を持つ指数分布では、上側に正規分布よりはるかに多くの値が出るので、異常でない値の約 $4.8\%$ が外れ値と判定される。歪んだ分布のデータに箱ひげ図の基準をそのまま使うときは、外れ値の多さを分布の形のせいと区別する必要がある。

(3) $\mu=1/\lambda$ である。$\int\log(1-u)\,\mathrm{d} u=-(1-u)\log(1-u)-u$ を使うと

$$L(p)=\lambda\int_0^p\Bigl(-\frac1\lambda\log(1-u)\Bigr)\mathrm{d} u=\Bigl[(1-u)\log(1-u)+u\Bigr]_0^p=p+(1-p)\log(1-p).$$

$\int_0^1(1-p)\log(1-p)\,\mathrm{d} p$ は $v=1-p$ と置いて $\int_0^1v\log v\,\mathrm{d} v=\bigl[\frac{v^2}2\log v-\frac{v^2}4\bigr]_0^1=-\frac14$ となる（$v\to+0$ で $v^2\log v\to0$）。よって

$$\int_0^1L(p)\,\mathrm{d} p=\frac12-\frac14=\frac14,\qquad G=1-2\cdot\frac14=\frac12.$$

$G$ は $\lambda$ によらない。$\lambda$ を変えることは全員の所得を同じ倍率で変えることに当たり、ジニ係数は倍率で変わらないからである。

(4) $M=\min(X_1,X_2)$ とおく。独立性から $P(M>t)=P(X_1>t)P(X_2>t)=\mathrm{e}^{-2\lambda t}$ なので、$M\sim\mathrm{Ex}(2\lambda)$ で $E[M]=\frac{1}{2\lambda}$ である。$\lvert a-b\rvert =a+b-2\min(a,b)$ は、$a\ge b$ なら右辺が $a+b-2b=a-b$、$a<b$ なら $b-a$ になることから成り立つ。期待値の線形性から

$$E\lvert X_1-X_2\rvert =E[X_1]+E[X_2]-2E[M]=\frac1\lambda+\frac1\lambda-\frac1\lambda=\frac1\lambda.$$

式 (1.9) に入れると $G=\frac{1/\lambda}{2/\lambda}=\frac12$ で、(3) と一致する。