この章のまとめと試験での出方

数理統計　第4章 §4.5

本章では、複数の確率変数をまとめて扱うための4つの操作を作った。

1. 周辺化：同時密度を不要な変数について積分する (4.3)。台が長方形でないときは、積分範囲が残りの変数に依存する。
2. 条件付け：同時密度を周辺密度で割る (4.7)。条件付き期待値について、全期待値の法則 (4.8) と全分散の公式 (4.9) が成り立つ。$E[Y\mid X]$ は2乗誤差を最小にする予測 (4.10) になる。独立性は、台が直積で密度が因数分解できるかで判定する（定理 4.10）。
3. 変数変換：逆写像のヤコビアンの絶対値を掛ける (4.12)。補助変数を選んで後から積分すれば、和（たたみ込み）・差・比の分布が出る。
4. 多変量正規分布：線形変換で閉じていること、成分が無相関なら独立であることを示した。条件付き分布は (4.21) の正規分布になる。

1級の統計数理では、本章の結果がそのまま答えになる問題は少なく、大問の途中の段として使われる。典型的な小問の連鎖を挙げる。

• 同時密度を与えられる → 正規化定数を決める → 周辺密度を求める（台に注意） → 条件付き密度と条件付き期待値 → 全分散の公式で分散を確かめる。
• 独立な2変数（ガンマ、正規、指数）から和と比を作る → 逆写像とヤコビアン → 台の書き直し → 因数分解で独立性を示す → 各周辺分布を名前の付いた分布として読む。第5章の $t$・$F$ 分布の導出、2025年 統計数理 問3 の題材（標本相関係数の密度）はこの型である。
• 積率母関数の積 (4.11) またはたたみ込み (4.13) で独立な和の分布を求める → 再生性を示す → 平均と分散。2025年 統計数理 問5 の題材（ポアソン分布の再生性）はこの型である。
• 階層モデル（$N$ を引き、その値に応じて $X$ を引く）→ 周辺分布を和や積分で出す → 全期待値・全分散 → 2つの部分の独立性。
• 2変量正規分布 → 条件付き分布 (4.22) → 条件付き確率 → 線形結合の分布 → 独立になる線形結合（回帰の傾き）。

答案で点を落としやすい所は、周辺化と変数変換での台の書き直し、比の分布でのヤコビアンの絶対値、多変量正規分布であることを確かめずに「無相関なら独立」を使うこと、の3つである。