確認テストの解答

数理統計　第4章 §4.6

1. 4.1-1 平均からの偏差は次のとおりである。

$$(aX+b)-E[aX+b]=a(X-\mu_X),\qquad (cY+d)-E[cY+d]=c(Y-\mu_Y)$$

よって次を得る。

$$\mathrm{Cov}(aX+b,cY+d)=E[ac(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=ac\,\mathrm{Cov}(X,Y)$$

分散は $V[aX+b]=a^2V[X]$、$V[cY+d]=c^2V[Y]$ なので、

$$\rho(aX+b,cY+d)=\frac{ac\,\mathrm{Cov}(X,Y)}{\lvert a\rvert \lvert c\rvert \sqrt{V[X]V[Y]}}=\frac{ac}{\lvert ac\rvert }\rho(X,Y).$$

$ac>0$ なら $\rho(X,Y)$ に等しい。相関係数は単位の取り方（摂氏と華氏など）によらない。2. 4.1-2 正規化定数と周辺密度は次のとおりである。

$$\begin{aligned}&\int_0^1\!\!\int_0^xcxy\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d} x=c\int_0^1\frac{x^3}{2}\mathrm{d} x=\frac c8 &&\text{より } c=8\\ &f_X(x)=\int_0^x8xy\,\mathrm{d} y=4x^3 &&(0<x<1)\\ &f_Y(y)=\int_y^18xy\,\mathrm{d} x=4y(1-y^2) &&(0<y<1)\end{aligned}$$

積率は次のとおりである。

$$\begin{aligned}E[X]&=\int_0^14x^4\mathrm{d} x=\frac45,\qquad E[X^2]=\frac46=\frac23,\qquad V[X]=\frac23-\frac{16}{25}=\frac{2}{75}\\ E[Y]&=\int_0^14y^2(1-y^2)\mathrm{d} y=4\Bigl(\frac13-\frac15\Bigr)=\frac{8}{15},\qquad E[Y^2]=4\Bigl(\frac14-\frac16\Bigr)=\frac13\\ V[Y]&=\frac13-\frac{64}{225}=\frac{11}{225}\\ E[XY]&=\int_0^1\!\!\int_0^x8x^2y^2\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d} x=\int_0^1\frac{8x^5}{3}\mathrm{d} x=\frac49\end{aligned}$$

よって

$$\begin{aligned}\mathrm{Cov}(X,Y)&=\frac49-\frac45\cdot\frac8{15}=\frac{100-96}{225}=\frac{4}{225}\\ \rho&=\frac{4/225}{\sqrt{(2/75)(11/225)}}=\frac{4}{\sqrt{66}}=0.4924 .\end{aligned}$$ 3. 4.1-3 周辺密度は次のとおりである。

$$f_X(x)=\int_x^\infty\mathrm{e}^{-y}\mathrm{d} y=\mathrm{e}^{-x}\ (x>0),\qquad f_Y(y)=\int_0^y\mathrm{e}^{-y}\mathrm{d} x=y\mathrm{e}^{-y}\ (y>0)$$

求める確率は、台と領域 $\{y<2x\}$ の共通部分 $x<y<2x$ の上の積分である。

$$\int_0^\infty\!\!\int_x^{2x}\mathrm{e}^{-y}\mathrm{d} y\,\mathrm{d} x=\int_0^\infty(\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-2x})\mathrm{d} x=1-\frac12=\frac12$$

$X\sim\mathrm{Ex}(1)$ なので、平均と分散はどちらも1である。$Y\sim\mathrm{Ga}(2,1)$ なので、平均と分散はどちらも2である。

$$\begin{aligned}E[XY]&=\int_0^\infty y\mathrm{e}^{-y}\int_0^yx\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y=\int_0^\infty\frac{y^3}{2}\mathrm{e}^{-y}\mathrm{d} y=\frac{\Gamma(4)}{2}=3\\ \mathrm{Cov}(X,Y)&=3-2=1,\qquad \rho=\frac{1}{\sqrt{1\cdot2}}=\frac{1}{\sqrt2}=0.7071\end{aligned}$$

条件付き密度は $f(y\mid x)=\mathrm{e}^{-(y-x)}$（$y>x$）である。よって $Y=X+E$ と書ける、と解釈することもできる。ここで $E\sim\mathrm{Ex}(1)$ は $X$ と独立である。4. 4.1-4 対称性から、$(X_i,X_j)$ の分布は $(X_1,X_2)$ と同じである。よって

$$P(X_i=1)=p,\qquad P(X_i=1,X_j=1)=\frac MN\cdot\frac{M-1}{N-1}.$$

$$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=p\Bigl(\frac{M-1}{N-1}-\frac MN\Bigr)=p\cdot\frac{N(M-1)-M(N-1)}{N(N-1)}=p\cdot\frac{M-N}{N(N-1)}=-\frac{p(1-p)}{N-1}.$$

和の分散の公式から

$$V[S_n]=np(1-p)+n(n-1)\Bigl(-\frac{p(1-p)}{N-1}\Bigr)=np(1-p)\Bigl(1-\frac{n-1}{N-1}\Bigr)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}.$$

$N=5$、$M=3$ とおくと、共分散は次のとおりで、本文の例と一致する。

$$-\frac35\cdot\frac25\cdot\frac14=-\frac{3}{50}$$ 5. 4.2-1 1. (a) 独立である。$6xy^2=2x\cdot3y^2$ で、台は直積 $(0,1)^2$ である。定理 4.10 から独立で、周辺密度は $f_X=2x$、$f_Y=3y^2$ である。2. (b) 独立でない。台 $\{0<y<x<1\}$ が直積でないからである。具体的には $f_X(x)=4x^3$、$f_Y(y)=4y(1-y^2)$ である。点 $(0.2,0.5)$ で比べると次のとおりである。

$$f(0.2,0.5)=0,\qquad f_X(0.2)f_Y(0.5)=0.032\times1.5=0.048>0$$ 6. 4.2-2 $E[Y\mid X]=X/2$、$V[Y\mid X]=X^2/12$ である。全期待値の法則と全分散の公式から、次を得る。

$$\begin{aligned}E[Y]&=E[X]/2=\frac14\\ E[V[Y\mid X]]&=E[X^2]/12=\frac{1}{36},\qquad V[E[Y\mid X]]=V[X]/4=\frac{1}{48}\\ V[Y]&=\frac1{36}+\frac1{48}=\frac{7}{144}\end{aligned}$$

周辺密度は、同時密度 $f(x,y)=1\cdot\frac1x$（$0<y<x<1$）を積分して得る。

$$f_Y(y)=\int_y^1\frac{\mathrm{d} x}{x}=-\log y\qquad(0<y<1)$$

確かめると次のとおりで、一致する。

$$\begin{aligned}E[Y]&=\int_0^1(-y\log y)\mathrm{d} y=\frac14,\qquad E[Y^2]=\int_0^1(-y^2\log y)\mathrm{d} y=\frac19\\ V[Y]&=\frac19-\frac1{16}=\frac7{144}\end{aligned}$$ 7. 4.2-3 $N=n$ を条件とする。このとき $S$ は独立な $n$ 項の和である。よって

$$E[S\mid N]=N\mu,\qquad V[S\mid N]=N\sigma^2 .$$

全期待値の法則と全分散の公式から、次を得る。

$$\begin{aligned}E[S]&=\mu E[N]=\lambda\mu\\ V[S]&=E[N\sigma^2]+V[N\mu]=\lambda\sigma^2+\mu^2\lambda=\lambda(\sigma^2+\mu^2)\end{aligned}$$

$\mathrm{Ex}(2)$ では $\mu=\frac12$ である。分散は $\sigma^2=\frac14$ である。$\lambda=3$ を入れて次を得る。

$$E[S]=1.5,\qquad V[S]=3\Bigl(\frac14+\frac14\Bigr)=1.5$$ 8. 4.2-4 $\mathrm{Cov}(X,X^2)=E[X^3]-E[X]E[X^2]=0-0=0$（標準正規の奇数次の積率は $0$）。$\{Y\le1\}=\{\lvert X\rvert \le1\}$ なので $P(\lvert X\rvert \le1,Y\le1)=P(\lvert X\rvert \le1)=2\Phi(1)-1=0.6827$。一方 $P(\lvert X\rvert \le1)P(Y\le1)=0.6827^2=0.4661$ で、等しくない。よって $X$ と $Y$ は独立でない。9. 4.3-1 逆写像とヤコビアンは次のとおりである。

$$x=\frac{u+v}{2},\quad y=\frac{u-v}{2},\qquad J=\det\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}=-\frac12,\quad \lvert J\rvert =\frac12$$

$x^2+y^2=\{(u+v)^2+(u-v)^2\}/4=(u^2+v^2)/2$ なので

$$f_{U,V}(u,v)=\frac12\cdot\frac1{2\pi}\mathrm{e}^{-(u^2+v^2)/4}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\mathrm{e}^{-u^2/4}\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\mathrm{e}^{-v^2/4}.$$

台は $\mathbb{R}^2$（直積）で、密度は積に分かれる。よって $U,V$ は独立で、それぞれの因子は $\mathrm{N}(0,2)$ の密度である。10. 4.3-2 (4.15) に $f_{X,Y}(w,zw)=\frac{1}{2\pi}\mathrm{e}^{-(w^2+z^2w^2)/2}$ を代入する。

$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^\infty\lvert w\rvert \frac{1}{2\pi}\mathrm{e}^{-(1+z^2)w^2/2}\mathrm{d} w=\frac1\pi\int_0^\infty w\,\mathrm{e}^{-(1+z^2)w^2/2}\mathrm{d} w=\frac1\pi\cdot\frac{1}{1+z^2}.$$

（被積分関数が $w$ について偶関数なので $2\int_0^\infty$ にした。）$P(\lvert Z\rvert \le1)=\frac1\pi[\arctan z]_{-1}^1=\frac1\pi\cdot\frac\pi2=\frac12$。11. 4.3-3 $J=\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}=r$。よって同時密度は次のとおりである。

$$f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac1{2\pi}\mathrm{e}^{-r^2/2}\cdot r\qquad(r>0,\ 0<\theta<2\pi)$$

台は直積で、密度は $r$ の関数と $\theta$ の関数の積である。よって2つは独立である。

$$f_R(r)=r\mathrm{e}^{-r^2/2},\qquad \Theta\sim\mathrm{U}(0,2\pi),\qquad P(R>2)=\int_2^\infty r\mathrm{e}^{-r^2/2}\mathrm{d} r=\mathrm{e}^{-2}=0.1353$$

（$R^2$ は $\mathrm{Ex}(1/2)=\chi^2_2$ に従う。）12. 4.3-4 $f_X(w)f_Y(z-w)=1$ となる範囲は、次のとおりである。

$$0<w<1\ \text{かつ}\ z-1<w<z$$

$z$ で場合を分ける。

• $0<z\le1$ では、範囲は $0<w<z$ である。よって $f_Z(z)=z$ となる。
• $1<z<2$ では、範囲は $z-1<w<1$ である。よって $f_Z(z)=2-z$ となる。

したがって次のとおりである。

$$P(Z\le1.5)=1-\int_{1.5}^2(2-z)\mathrm{d} z=1-\frac{0.5^2}{2}=0.875$$ 13. 4.3-5 $n=1$ では $\lambda\mathrm{e}^{-\lambda s}$ で成り立つ。$n$ で成り立つとし、$S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$（独立）にたたみ込みを使う。$z>0$ で積分範囲は $0<s<z$ で、

$$f_{S_{n+1}}(z)=\int_0^z\frac{\lambda^ns^{n-1}\mathrm{e}^{-\lambda s}}{(n-1)!}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda(z-s)}\mathrm{d} s =\frac{\lambda^{n+1}\mathrm{e}^{-\lambda z}}{(n-1)!}\cdot\frac{z^n}{n}=\frac{\lambda^{n+1}z^n\mathrm{e}^{-\lambda z}}{n!}.$$

よって $n+1$ でも成り立つ。$\Gamma(n)=(n-1)!$ なので、これは $\mathrm{Ga}(n,1/\lambda)$ の密度である。14. 4.4-1 $\bm a=(1,-2)^\top$ とすると $\bm a^\top\Sigma\bm a=4-2\cdot2\cdot3+4\cdot1=4-12+4=-4<0$。共分散行列なら $\bm a^\top\Sigma\bm a=V[\bm a^\top\bm X]\ge0$ でなければならないので矛盾する。15. 4.4-2 $\bm a=(1,-1,1)^\top$ で $\bm a^\top\Sigma\bm a=2+2+2+2(-1+0-1)=2$。定理 4.16 (1) から $Y\sim\mathrm{N}(0,2)$。$(X_1,X_2)$ の共分散行列は $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ である。よって (4.21) から次を得る。

$$X_1\mid X_2=1\sim\mathrm{N}\Bigl(0+\frac12\cdot1,\ 2-\frac12\Bigr)=\mathrm{N}(0.5,\,1.5)$$ 16. 4.4-3 $\bm X\sim\mathrm{N}_n(\mu\bm 1,\sigma^2I)$ である。

1. 次の計算から、共分散は0である。

$$\begin{aligned}\mathrm{Cov}(\bar X,X_i)&=\frac1n\sum_j\mathrm{Cov}(X_j,X_i)=\frac{\sigma^2}{n},\qquad V[\bar X]=\frac{\sigma^2}n\\ \mathrm{Cov}(\bar X,X_i-\bar X)&=\frac{\sigma^2}n-\frac{\sigma^2}n=0\end{aligned}$$ 2. ベクトル $(\bar X,X_1-\bar X,\dots,X_n-\bar X)$ は、線形変換 $B\bm X$ の形に書ける。$B$ は $(n+1)\times n$ で、階数は列の数にとどまる。そのため定理 4.16 (1) はそのまま使えない。そこで積率母関数で同じ計算をすると、次になる。

$$E[\exp(\bm s^\top B\bm X)]=\exp\Bigl\{\bm s^\top B\mu\bm1+\frac{\sigma^2}{2}\bm s^\top BB^\top\bm s\Bigr\}$$

$BB^\top$ の第1行は $\bar X$ との共分散である。対角の $1/n$ 以外は0である。よって $\bm s=(s_0,\bm s_1)$ と分ける。指数は $s_0$ だけの項と $\bm s_1$ だけの項に分かれる。

したがって積率母関数が積に分かれる。定理 4.16 (2) の証明と同じ理由で、$\bar X$ と $(X_i-\bar X)_i$ は独立である。この結果から、偏差だけの関数 $S^2$ も $\bar X$ と独立になる（第5章）。17. 4.4-4 $\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_1^2&\rho\sigma_1\sigma_2\\ \rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_2^2\end{pmatrix}$、$\Sigma^{-1}=\dfrac{1}{\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)}\begin{pmatrix}\sigma_2^2&-\rho\sigma_1\sigma_2\\ -\rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_1^2\end{pmatrix}$ なので

$$Q=\frac{1}{1-\rho^2}\Bigl\{\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\Bigr\} =\frac{z_1^2-2\rho z_1z_2+z_2^2}{1-\rho^2}.$$

定理 4.16 (3) から $Q\sim\chi^2_2$ である。$\chi^2_2=\mathrm{Ga}(1,2)$ は平均2の指数分布なので、

$$P(Q\le c)=1-\mathrm{e}^{-c/2}.$$

$1-\mathrm{e}^{-c/2}=0.95$ から、次を得る。

$$c=-2\log0.05=5.991\quad(=\chi^2_2(0.05))$$ 18. 4.4-5 $V[X_i]=np_i(1-p_i)$ なので$\rho(X_i,X_j)=\dfrac{-np_ip_j}{n\sqrt{p_i(1-p_i)p_j(1-p_j)}}=-\sqrt{\dfrac{p_ip_j}{(1-p_i)(1-p_j)}}$。$n$ によらない。$p_i=0.5$、$p_j=0.3$ を入れると、値は次のとおりである。

$$-\sqrt{0.15/0.35}=-0.6547$$