この章のまとめと試験での出方

数理統計　第5章 §5.6

この章では、統計量の分布を求める方法を3通り用意した。

1. 厳密な計算。積率母関数の積による和の分布（再生性）、変数変換と条件付けによる密度の導出（カイ二乗・$t$・$F$）、事象の言い換えによる順序統計量の分布関数である。
2. 正規母集団に固有の構造。直交変換によって $\bar X$ と $\sum(X_i-\bar X)^2$ が独立に分かれる。後者は $\sigma^2\chi^2_{n-1}$ に従う（定理5.5）。これを行列で書き直したものが冪等行列の二次形式の定理（定理5.22）で、回帰の残差平方和にも使う。
3. $n\to\infty$ の近似。大数の法則で、推定量が母数に近づくことを示す。中心極限定理で、$\sqrt n$ 倍した誤差が正規分布に従うことを示す。Slutsky の定理で未知の分散を推定値に置き換え、デルタ法で推定量の関数へ移す。端点が母数の分布では、最小値・最大値が $1/n$ の速さで収束し、$n$ 倍すると指数分布に収束する（定理5.21）。

統計数理（90分で5問から3問選択）では、この章の道具は次のような小問の連鎖で問われる。

• 端点型の分布。次の順に小問が続く。

  1. 規格化定数を求める。
  2. 最小値（または最大値）の分布関数を (5.15) で書く。
  3. $n(X_{(1)}-\theta)$ の厳密な分布を求める。
  4. $n\to\infty$ の極限分布を求める。
  5. それをピボットにした信頼区間を作る。

2025年 統計数理 問2 の題材（台の端が母数で決まる分布の最小値の厳密分布と極限分布）がこの形である。

• 正規標本。次の順に小問が続く。

  1. $\bar X$ と $S^2$ の独立性を直交変換で示す。
  2. $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$ を導く。
  3. $t$ の密度を条件付けで導く。
  4. 区間推定か検定に進む。

2025年 統計数理 問3 の題材（単回帰の推定量から正規と $\chi^2$ を作り、それを組み合わせた統計量の密度を求める）は、この手続きを回帰に移したものである。

• 再生性と積率母関数。次の順に小問が続く。

  1. 個々の分布の積率母関数を求める。
  2. 和の分布を求める。
  3. その逆数や対数の期待値を求める（例題5.1）。
  4. 不偏化する。

2025年 統計数理 問5 の題材（ポアソン分布の再生性と積率母関数）もこの系列に入る。

• 漸近論。次の順に小問が続く。

  1. 中心極限定理を使う。
  2. デルタ法で推定量の関数の漸近分布を求める。
  3. 分散安定化を行う。
  4. 近似信頼区間を作る（例題5.4）。

第6章の最尤推定量の漸近正規性と組み合わせて出ることが多い。

答案で点を確保するには、どの小問でも「何が独立で、なぜその分布になるか」を1行書き添えるとよい。たとえば $t$ 分布を使うときは、分子が標準正規、分母が独立な $\chi^2$ を自由度で割ったものの平方根、という定義の3条件を確かめてから使う。極限分布の問題では、拡大の倍率（$\sqrt n$ か $n$ か）を先に決める。そのうえで生存関数 $P(\cdot>t)$ を書いて極限をとる形にすると計算が短い。