確認テストの解答

数理統計　第5章 §5.7

§5.1 統計量と標本分布

1. 5.1-1 (a) $\sigma^2$ は既知で、$\sum(X_i-\bar X)^2$ はデータだけで計算できるので統計量である。(b) 未知の $\mu$ を含むので統計量ではない。ただし分布は $\mathrm{N}(0,1)$ で、母数によらないピボットである。
2. 5.1-2 再生性から $\sum X_i\sim\mathrm{Po}(4\times0.5)=\mathrm{Po}(2)$。$\bar X\le1/4\iff\sum X_i\le1$ なので$P=\mathrm{e}^{-2}(1+2)=3\mathrm{e}^{-2}\approx0.4060$。
3. 5.1-3 2つの共分散を求める。

$$\begin{aligned}\mathrm{Cov}(\bar X,X_i)&=\frac1n\sum_j\mathrm{Cov}(X_j,X_i)=\frac1n\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=\frac{\sigma^2}{n} &&\text{（}{j\ne i}\text{ の項は独立性から0）},\\ \mathrm{Cov}(\bar X,\bar X)&=V[\bar X]=\frac{\sigma^2}{n}.\end{aligned}$$

よって $\mathrm{Cov}(\bar X,X_i-\bar X)=\sigma^2/n-\sigma^2/n=0$。無相関であっても独立とは限らない（独立になるのは正規母集団の場合で、それが定理5.5 の内容である）。4. 5.1-4 $E[X_i]=\theta/2$ から $E[2\bar X]=\theta$。$E[X_i^2]=\int_0^\theta x^2/\theta\,\mathrm{d} x=\theta^2/3$ より $V[X_i]=\theta^2/3-\theta^2/4=\theta^2/12$。$V[2\bar X]=4\cdot\theta^2/(12n)=\theta^2/(3n)$。5. 5.1-5 $T=\sum X_i\sim\mathrm{Bin}(n,p)$ である。このとき $E[T]=np$、$E[T^2]=V[T]+(E[T])^2=np(1-p)+n^2p^2$。$E[\bar X(1-\bar X)]=E[T]/n-E[T^2]/n^2=p-p(1-p)/n-p^2=p(1-p)(1-1/n)=\frac{n-1}{n}p(1-p)$。よって $\frac{n}{n-1}\bar X(1-\bar X)$ が $p(1-p)$ の不偏推定量である。これはベルヌーイ標本の不偏分散 $S^2$ に一致する。

§5.2 正規母集団からの代表的な標本分布

1. 5.2-1 $M(t)=(1-2t)^{-n/2}$ を微分すると次のようになる。

$$\begin{aligned}M'(t)&=n(1-2t)^{-n/2-1}, & M''(t)&=n(n+2)(1-2t)^{-n/2-2},\\ E[W]&=M'(0)=n, & E[W^2]&=M''(0)=n^2+2n .\end{aligned}$$

よって $V[W]=n^2+2n-n^2=2n$。2. 5.2-2 $T=Z\sqrt{n/W}$ と書ける。$Z$ と $W$ は独立である。$n>1$ では $E[|T|]<\infty$ である。よって $E[T]=E[Z]E[\sqrt{n/W}]=0$。$E[T^2]=E[Z^2]\,E[n/W]=n\,E[W^{-1}]$ で、密度 (5.5) から

$$E[W^{-1}]=\frac{1}{\Gamma(n/2)2^{n/2}}\int_0^\infty w^{n/2-2}\mathrm{e}^{-w/2}\mathrm{d} w=\frac{\Gamma(n/2-1)2^{n/2-1}}{\Gamma(n/2)2^{n/2}}=\frac{1}{2(n/2-1)}=\frac{1}{n-2}$$

（$n>2$ で積分が収束）。よって $E[T^2]=n/(n-2)$。$E[T]=0$ なので $V[T]=n/(n-2)$ でもある。3. 5.2-3 $P(|\bar X-\mu|\le cS)=P\bigl(|\sqrt{16}(\bar X-\mu)/S|\le4c\bigr)$ で、系5.8 から $\sqrt{16}(\bar X-\mu)/S\sim t_{15}$。これが 0.95 になるのは $4c=t_{15}(0.025)=2.131$ のときで、$c=2.131/4\approx0.5329$。4. 5.2-4 $F=(U/m)/(V/n)$ と書くと $mF/n=U/V$ なので

$$B=\frac{mF/n}{1+mF/n}=\frac{U/V}{1+U/V}=\frac{U}{U+V}.$$

$U\sim\mathrm{Ga}(m/2,2)$ と $V\sim\mathrm{Ga}(n/2,2)$ は独立である。そこで $S=U+V$、$B=U/(U+V)$ と変換する。逆変換は $U=BS$、$V=(1-B)S$ である。ヤコビアンは

$$\Bigl|\det\begin{pmatrix}s&b\\-s&1-b\end{pmatrix}\Bigr|=s .$$

同時密度は

$$\frac{(bs)^{m/2-1}((1-b)s)^{n/2-1}\mathrm{e}^{-s/2}}{\Gamma(m/2)\Gamma(n/2)2^{(m+n)/2}}\,s =\frac{b^{m/2-1}(1-b)^{n/2-1}}{B(m/2,n/2)}\cdot\frac{s^{(m+n)/2-1}\mathrm{e}^{-s/2}}{\Gamma(\frac{m+n}2)2^{(m+n)/2}},$$

ここで $B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ はベータ関数。同時密度は $b$ の関数と $s$ の関数の積に分かれる。よって $B$ と $S$ は独立である。分布は $B\sim\mathrm{Beta}(m/2,n/2)$ となる。5. 5.2-5 (5.9) から $F_{5,10}(0.95)=1/F_{10,5}(0.05)=1/4.735\approx0.2112$。

§5.3 確率変数と確率分布の収束

1. 5.3-1 $\varepsilon\in(0,1)$ を任意にとる。$n>\varepsilon$ のとき $P(|T_n|>\varepsilon)=P(T_n=n)=1/n\to0$ である。よって $T_n\xrightarrow{P}0$。一方 $E[T_n]=n\cdot(1/n)=1$ で、0に収束しない。確率収束は確率の小さな事象での大きな値を許すので、期待値の収束を保証しない。
2. 5.3-2 中心極限定理から $\sqrt n(\bar X-\lambda)/\sqrt\lambda\xrightarrow{d}\mathrm{N}(0,1)$。大数の法則から $\bar X\xrightarrow{P}\lambda$ である。$\lambda>0$ なので、連続写像定理から $\sqrt{\lambda/\bar X}\xrightarrow{P}1$。$\sqrt n(\bar X-\lambda)/\sqrt{\bar X}=\{\sqrt n(\bar X-\lambda)/\sqrt\lambda\}\cdot\sqrt{\lambda/\bar X}$ に Slutsky の定理（積）を使えば $\mathrm{N}(0,1)$ に分布収束する。
3. 5.3-3 $\sqrt n(\bar X-p)\xrightarrow{d}\mathrm{N}(0,p(1-p))$。$g(x)=x(1-x)$、$g'(p)=1-2p$ とおく。$p\ne1/2$ ならデルタ法から

$$\sqrt n\{\bar X(1-\bar X)-p(1-p)\}\xrightarrow{d}\mathrm{N}\bigl(0,(1-2p)^2p(1-p)\bigr).$$

$p=1/2$ では $g'(1/2)=0$ で、極限は0に退化する。このときは $g(x)-g(1/2)=-(x-1/2)^2$ から$n\{\bar X(1-\bar X)-1/4\}=-\{\sqrt n(\bar X-1/2)\}^2\xrightarrow{d}-\frac14\chi^2_1$（2次のデルタ法）。4. 5.3-4 $E[X]=V[X]=100$。連続修正で $P(X\le90)\approx\Phi\bigl((90.5-100)/10\bigr)=\Phi(-0.95)\approx0.1711$。（正確な値は $0.1714$。）5. 5.3-5 定数 $c$ の分布関数は、その点より左で0、その点以上で1である。この点 $c$ 以外はすべて連続点である。任意の $\varepsilon>0$ について

$$P(|T_n-c|>\varepsilon)\le P(T_n\le c-\varepsilon)+1-P(T_n\le c+\varepsilon/2)\to0+1-1=0 .$$

ここで $c-\varepsilon$ と $c+\varepsilon/2$ が連続点であることを使った。よって $T_n\xrightarrow{P}c$。

§5.4 順序統計量

1. 5.4-1 (5.15) から $P(X_{(5)}\le0.9)=0.9^5=0.59049$。
2. 5.4-2 (5.19) から $X_{(k)}\sim\mathrm{Beta}(k,n-k+1)$。$\mathrm{Beta}(a,b)$ の積率は $E[X^r]=B(a+r,b)/B(a,b)$ なので

$$E[X_{(k)}]=\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n+2)}=\frac{k}{n+1},\qquad E[X_{(k)}^2]=\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)} .$$

$V[X_{(k)}]=\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2}=\frac{k\{(k+1)(n+1)-k(n+2)\}}{(n+1)^2(n+2)}=\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}$。3. 5.4-3 (5.17) で $n=3$、$k=2$ とする。一様分布では $F(x)=x$ なので $f_{(2)}(x)=\frac{3!}{1!\,1!}x(1-x)=6x(1-x)$。$P(X_{(2)}\le1/4)=\int_0^{1/4}6x(1-x)\mathrm{d} x=[3x^2-2x^3]_0^{1/4}=\frac3{16}-\frac2{64}=\frac{5}{32}$。4. 5.4-4 (5.18) で $i=1$、$j=n$ とする。$F(x)=x$ を入れると

$$f(x,y)=n(n-1)(y-x)^{n-2}\qquad(0<x<y<1).$$

$(X_{(1)},R)=(X_{(1)},X_{(n)}-X_{(1)})$ へ変換する。ヤコビアンは1で、同時密度は

$$n(n-1)r^{n-2}\qquad(0<x,\ 0<r,\ x+r<1).$$

$x$ について0から $1-r$ まで積分して

$$f_R(r)=n(n-1)r^{n-2}(1-r)\qquad(0<r<1).$$ 5. 5.4-5 $F(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$ なので、$x+\log n>0$ のとき

$$P(X_{(n)}-\log n\le x)=F(x+\log n)^n=\bigl(1-\mathrm{e}^{-x}/n\bigr)^n\to\exp(-\mathrm{e}^{-x}).$$

どの実数についても、$n$ が十分大きければ $x+\log n>0$ となる。よってすべての実数で成り立つ。

§5.5 発展的事項

1. 5.5-1 対称性は明らか。$\bm1^\top\bm1=n$ なので $A^2=I-\frac2n\bm1\bm1^\top+\frac1{n^2}\bm1(\bm1^\top\bm1)\bm1^\top=I-\frac1n\bm1\bm1^\top=A$。冪等行列の固有値は0か1なので、階数はトレースに等しく、$\mathrm{tr}\,A=n-\frac1n\mathrm{tr}(\bm1\bm1^\top)=n-1$。
2. 5.5-2 例題5.8 の (1) より、$\sqrt n(\tilde X-\mu)\xrightarrow{d}\mathrm{N}(0,\pi\sigma^2/2)$。よって $V[\tilde X]\approx\pi\sigma^2/(2n)\approx1.571\sigma^2/n$。
3. 5.5-3 中心極限定理から $\sqrt n(\bar X-\lambda)\xrightarrow{d}\mathrm{N}(0,\lambda)$。$g(x)=2\sqrt x$ で $g'(\lambda)=1/\sqrt\lambda$。デルタ法の漸近分散は $(1/\sqrt\lambda)^2\cdot\lambda=1$ で、$\sqrt n(2\sqrt{\bar X}-2\sqrt\lambda)\xrightarrow{d}\mathrm{N}(0,1)$。
4. 5.5-4 次のベクトルと行列をおく。

$$\bm a_1=\frac{(1,-1,0)^\top}{\sqrt2},\qquad \bm a_2=\frac{(1,1,-2)^\top}{\sqrt6},\qquad A_k=\bm a_k\bm a_k^\top .$$

すると $Q_1=(\bm a_1^\top\bm Z)^2=\bm Z^\top A_1\bm Z$、$Q_2=\bm Z^\top A_2\bm Z$ である。

$\|\bm a_k\|=1$ なので $A_k^2=\bm a_k(\bm a_k^\top\bm a_k)\bm a_k^\top=A_k$ で、階数は1。$\bm a_1^\top\bm a_2=(1-1+0)/\sqrt{12}=0$ なので $A_1A_2=\bm a_1(\bm a_1^\top\bm a_2)\bm a_2^\top=O$。定理5.22 の (1)(2) から、$Q_1$ と $Q_2$ は独立である。どちらも $\chi^2_1$ に従う。

$\bm a_1,\bm a_2,\bm1/\sqrt3$ は正規直交基底なので、次が成り立つ。

$$A_1+A_2+\frac13\bm1\bm1^\top=I,\qquad Q_1+Q_2=\bm Z^\top\Bigl(I-\frac13\bm1\bm1^\top\Bigr)\bm Z=\sum(Z_i-\bar Z)^2 .$$

$(A_1+A_2)\bm1=\bm0$ なので、定理5.22 の (3) から $Z_1+Z_2+Z_3=\bm1^\top\bm Z$ と独立である。