確認テストの解答

統計学の復習　第3章 §3.6

§3.1 場合の数

1. 3.1-1 ${}_7\mathrm P_3=7\cdot6\cdot5=210$、${}_7\mathrm C_3=\dfrac{210}{3!}=35$。3個の順列は、まず3個の組を選び、次にその3個を並べる（$3!$ 通り）ことで作られるので、順列の数は組合せの数の $3!$ 倍になる。
2. 3.1-2 文字の内訳は T が2個、O が1個、U が1個、K が2個、E が3個、I が2個、N が1個で、合計12個である。同じものを含む順列 (3.2) から

$$\frac{12!}{2!\,1!\,1!\,2!\,3!\,2!\,1!}=\frac{479001600}{48}=9979200\ \text{通り}.$$ 3. 3.1-3 円順列から $(6-1)!=120$ 通り。A と B が隣り合う座り方は、A・B を1人とみなした5人の円順列 $(5-1)!=24$ 通りに、その中での A・B の並び方 $2$ 通りを掛けて$48$ 通りである。4. 3.1-4 (a) $k\binom nk=k\cdot\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}=\dfrac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}=n\cdot\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,\{(n-1)-(k-1)\}!}=n\binom{n-1}{k-1}$。(b) 委員 $k$ 人を先に選び（$\binom nk$ 通り）、その中から委員長を選ぶ（$k$ 通り）と、積の法則で $k\binom nk$ 通りである。委員長を先に $n$ 人から選び（$n$ 通り）、残りの委員 $k-1$ 人を残り $n-1$ 人から選ぶ（$\binom{n-1}{k-1}$ 通り）と、$n\binom{n-1}{k-1}$ 通りである。同じものを数えているので両者は等しい。この等式は第5章で二項分布の期待値 $np$ を導くときに使う。5. 3.1-5 (a) 第1班の4人を10人から選び（$\binom{10}4=210$ 通り）、第2班の3人を残り6人から選ぶ（$\binom63=20$ 通り）と、第3班は残りの3人に決まる。$210\times20=4200$ 通り。これは $\dfrac{10!}{4!\,3!\,3!}$ に等しい。(b) 名前の無い分け方1つから名前つきの分け方を作るには、4人の組を第1班とし、3人の2組に「第2班・第3班」の名前を付ければよい。4人の組は人数で決まるので付け方は1通りで、3人の2組への付け方は $2!=2$ 通りある。したがって名前つきの分け方の数は名前の無い分け方の数の2倍で、求める数は $4200/2=2100$ 通り。

§3.2 さまざまな事象

1. 3.2-1 $A=\{2,4,6\}$、$B=\{3,6\}$、$C=\{1\}$。$A\cap B=\{6\}\ne\emptyset$ なので $A,B$ は排反でない。$A\cap C=\emptyset$、$B\cap C=\emptyset$ なので、排反な組は$\{A,C\}$ と $\{B,C\}$ である。$A^c\cap B^c=(A\cup B)^c=\{2,3,4,6\}^c=\{1,5\}$。
2. 3.2-2 $\omega\in(A\cup B\cup C)^c$ は「$\omega$ は $A,B,C$ のどれにも属さない」ことと同じであり、これは「$\omega\notin A$ かつ $\omega\notin B$ かつ $\omega\notin C$」、すなわち $\omega\in A^c\cap B^c\cap C^c$ と同じである。左辺の要素はすべて右辺の要素で、逆も成り立つので、両辺は等しい。
3. 3.2-3 4・6で割り切れる整数の集合を $A_4,A_6$ とする。$\#A_4=\lfloor200/4\rfloor=50$、$\#A_6=\lfloor200/6\rfloor=33$。4と6の両方で割り切れることは最小公倍数12で割り切れることと同じなので、$\#(A_4\cap A_6)=\lfloor200/12\rfloor=16$。(3.4) から $\#(A_4\cup A_6)=50+33-16=67$。求める個数は $200-67=133$ 個。
4. 3.2-4 P を通る経路の集合を $S_P$、Q を通る経路の集合を $S_Q$ とする。例題3.1 から $\#S_P=30$。Q を通る経路は O から Q まで（R 4個・U 2個）が $\binom62=15$ 通り、Q から G まで（R 1個・U 1個）が $\binom21=2$ 通りで、$\#S_Q=30$。両方を通る経路は O→P が3通り、P→Q（R 2個・U 1個）が $\binom31=3$ 通り、Q→G が2通りで、$\#(S_P\cap S_Q)=18$。(3.4) から $\#(S_P\cup S_Q)=30+30-18=42$ 通り。

§3.3 確率と期待値

1. 3.3-1 (a) 排反なら $P(A\cap B)=0$ で、$P(A\cup B)=0.3+0.5=0.8$。(b) 独立なら $P(A\cap B)=0.3\times0.5=0.15$ で、$P(A\cup B)=0.3+0.5-0.15=0.65$。(c) ありえない。$P(A)>0$、$P(B)>0$ なので、定理3.14 から排反なら独立でない。実際、排反なら $P(A\cap B)=0\ne0.15=P(A)P(B)$ である。
2. 3.3-2 2個のさいころを区別して、目の組 36 通りを等確率の根元事象とする。和が 7 になる組は $(1,6),(2,5),\dots,(6,1)$ の6通りで、確率は $6/36=1/6$。和が 10 以上になる組は、和 10 が $(4,6),(5,5),(6,4)$ の3通り、和 11 が2通り、和 12 が1通りで合計6通りなので、確率は $6/36=1/6$。
3. 3.3-3 当たる回数を $k$ とすると、反復試行の確率 (3.8) から $P(k=0)=0.7^5=0.16807$、$P(k=1)=5\times0.3\times0.7^4=0.36015$。余事象から、少なくとも2回当たる確率は $1-0.16807-0.36015=0.47178\approx0.4718$。
4. 3.3-4 de Morgan の法則と余事象の公式から $P(A^c\cap B^c)=P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B)$。加法定理と独立性を使って

$$P(A^c\cap B^c)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=\{1-P(A)\}\{1-P(B)\}=P(A^c)P(B^c).$$

よって $A^c$ と $B^c$ は独立である。5. 3.3-5 (a) 賞金の期待値は

$$10000\cdot\frac1{1000}+1000\cdot\frac{10}{1000}+100\cdot\frac{100}{1000}+0\cdot\frac{889}{1000}=10+10+10=30\ \text{円}.$$

(b) 1本目の賞金を $X_1$、2本目の賞金を $X_2$ とする。2本目だけを見ると、どのくじも2本目に来る確率は等しい（例題3.6 と同じ理由）ので、$X_2$ の分布は $X_1$ と同じで $E[X_2]=30$ である。$X_1$ と $X_2$ は独立でないが、線形性（定理3.19）は独立を必要としないので$E[X_1+X_2]=30+30=60$ 円。

§3.4 条件付き確率とベイズの定理

1. 3.4-1 $P(B\mid A)=0.1/0.4=0.25$、$P(A\mid B)=0.1/0.25=0.4$。$P(A)P(B)=0.4\times0.25=0.1=P(A\cap B)$ なので $A,B$ は独立である。命題3.21 のとおり、$P(B\mid A)=P(B)=0.25$、$P(A\mid B)=P(A)=0.4$ にもなっている。$P_A(B)$ は $P(B\mid A)$ と同じもので、添字の $A$（条件）が縦棒の右に移る。
2. 3.4-2 全確率の公式から

$$P(\text{不良})=0.5\times0.01+0.3\times0.02+0.2\times0.04=0.005+0.006+0.008=0.019.$$

Bayes の定理から $P(\mathrm Z\mid\text{不良})=0.008/0.019=8/19\approx0.421$。生産割合は 20% でも、不良品の約42% が工場 Z の製品になる。3. 3.4-3 (a) 1個目が赤の確率は $5/12$、そのもとで2個目が白の確率は残り11個中の白7個で $7/11$、そのもとで3個目が赤の確率は残り10個中の赤4個で $4/10$。乗法定理 (3.14) から $\dfrac5{12}\cdot\dfrac7{11}\cdot\dfrac4{10}=\dfrac{140}{1320}=\dfrac7{66}$。(b) 取り出す3個の組 $\binom{12}3=220$ 通りが等確率で、赤2個・白1個の組は $\binom52\binom71=70$ 通りなので、確率は $70/220=7/22$。赤2個・白1個になる順序は「赤赤白」「赤白赤」「白赤赤」の3通りで、乗法定理で計算するとどれも分子が $5\cdot4\cdot7$、分母が $12\cdot11\cdot10$ になって等しい。よって (b) の値は (a) の値の3倍 $3\times7/66=7/22$ である。4. 3.4-4 (P1)：$A\cap B\subset A$ なので $0\le P(A\cap B)\le P(A)$ で、$0\le Q(B)\le1$。(P2)：$Q(\Omega)=P(A\cap\Omega)/P(A)=P(A)/P(A)=1$。(P3)：$B,C$ が排反なら $A\cap B$ と $A\cap C$ も排反で、分配法則から $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$。(P3) から

$$Q(B\cup C)=\frac{P(A\cap B)+P(A\cap C)}{P(A)}=Q(B)+Q(C).$$ 5. 3.4-5 根元事象は（1枚目, 2枚目）の4通り HH・HT・TH・TT で等確率。$A=\{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\}$、$B=\{\mathrm{HH},\mathrm{TH}\}$、$C=\{\mathrm{HH},\mathrm{TT}\}$ で、いずれも確率 $1/2$。$A\cap B=A\cap C=B\cap C=\{\mathrm{HH}\}$ で確率は $1/4=(1/2)(1/2)$ なので、2つずつ独立である。しかし $A\cap B\cap C=\{\mathrm{HH}\}$ の確率 $1/4$ は $P(A)P(B)P(C)=1/8$ と異なるので、$A,B,C$ は独立でない。1枚目と2枚目がともに表と分かれば、表の枚数は2で偶数と決まる。