確認テストの解答

統計学の復習　第6章 §6.8

§6.1 正規分布

1. 6.1-1 密度の指数部分は $x=\mu$ で $\mathrm{e}^0=1$ と最大になるので、最大値は $f(\mu)=1/(\sqrt{2\pi}\sigma)$ である。$1/(\sqrt{2\pi}\sigma)>1$ は $\sigma<1/\sqrt{2\pi}=0.3989$ と同値である。たとえば $\mathrm{N}(0,0.1^2)$ の密度の最大値は $3.989$ で、密度は確率でないので $1$ を超えてよい。
2. 6.1-2 定理 6.4 で $a=-2$、$b=5$ として、平均 $5-2\times10=-15$、分散 $(-2)^2\times9=36$、すなわち $Y\sim\mathrm{N}(-15,6^2)$ である。密度は

$$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\times6}\exp\Bigl(-\frac{(y+15)^2}{72}\Bigr)$$

である。$a<0$ でも標準偏差は $\lvert a\rvert \sigma=6$ で、負の係数は分布を左右に反転させるだけである。3. 6.1-3 $k\ge2$ で $z^k\varphi(z)=z^{k-1}\cdot z\varphi(z)=-z^{k-1}\varphi'(z)$ なので、部分積分から

$$E[Z^k]=\Bigl[-z^{k-1}\varphi(z)\Bigr]_{-\infty}^\infty+(k-1)\int_{-\infty}^\infty z^{k-2}\varphi(z)\,\mathrm{d} z=(k-1)E[Z^{k-2}]$$

である。境界の項は $z^{k-1}\mathrm{e}^{-z^2/2}\to0$（$z\to\pm\infty$）で消える。$E[Z^0]=1$ から $E[Z^2]=1$、$E[Z^4]=3E[Z^2]=3$ となる。$X-\mu=\sigma Z$ なので $E[(X-\mu)^4]=\sigma^4E[Z^4]=3\sigma^4$ である。4. 6.1-4 $P(X>\mu+2\sigma)=P(Z>2)=1-0.9772=0.0228$。$P(\mu-\sigma<X<\mu+2\sigma)=\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772-(1-0.8413)=0.9772-0.1587=0.8185$（表の4桁から計算した値。$\Phi$ を正確に使うと $0.8186$）。

§6.2 歪度と尖度

1. 6.2-1 $Y=10-3X$ は $a=-3<0$ の線形変換なので、歪度は符号が変わって $-0.8$、尖度は変わらず $4.5$ である。
2. 6.2-2 $X=a+(b-a)U$（$U\sim\mathrm{U}(0,1)$）と書けて、$b-a>0$ の線形変換なので、歪度と尖度は $U$ のものに等しい。$U$ は $1/2$ について対称なので歪度は $0$、本文の計算から $E[(U-1/2)^4]=1/80$、$V[U]^2=1/144$ で $\beta_2=144/80=1.8$ である。どちらも $a,b$ によらない。
3. 6.2-3 平均は $15/5=3$、偏差は $-2,-2,-1,-1,6$ で、$\sum(x_i-\bar x)^2=4+4+1+1+36=46$、$\sum(x_i-\bar x)^3=-8-8-1-1+216=198$ である。$\hat\sigma^2=46/5=9.2$、$\hat\sigma^3=9.2^{3/2}=27.905$ なので $g_1=(198/5)/27.905=39.6/27.905=1.419$ である。中央値は $2$ で平均 $3$ より小さく、外れた値 $9$ の寄与で平均が中央値より右に来て、歪度も正になる。
4. 6.2-4 $\mu=p$、$\sigma^2=p(1-p)$ である。$X-p$ は確率 $p$ で $1-p$、確率 $1-p$ で $-p$ をとるので

$$E[(X-p)^3]=p(1-p)^3+(1-p)(-p)^3=p(1-p)\{(1-p)^2-p^2\}=p(1-p)(1-2p)$$

である。$\sigma^3=\{p(1-p)\}^{3/2}$ で割ると $\gamma_1=(1-2p)/\sqrt{p(1-p)}$ となる。$0<p<1$ で分母は正なので、歪度が正になるのは $p<1/2$ のときである。成功が珍しいときは、まれに出る $1$ が平均 $p$ から右へ大きく外れるので、右に裾を引く形になる。

§6.3 正規分布の再生性と標準正規分布

1. 6.3-1 式 (6.10) から $\bar X\sim\mathrm{N}(50,100/25)=\mathrm{N}(50,2^2)$ である。$(48-50)/2=-1$、$(52-50)/2=1$ なので$P(48<\bar X<52)=2\Phi(1)-1=2\times0.8413-1=0.6826$（正確には $0.6827$）。
2. 6.3-2 式 (6.9) で $a_1=2$、$a_2=-1$ として、平均 $2\times1-2=0$、分散 $2^2\times4+(-1)^2\times9=16+9=25$、すなわち $2X-Y\sim\mathrm{N}(0,5^2)$ である。$P(2X-Y>5)=P(Z>1)=1-0.8413=0.1587$。分散の計算で $-Y$ の係数 $-1$ を2乗して $+9$ にすることを確かめる。
3. 6.3-3 $n$ についての帰納法で $S_n=Z_1+\cdots+Z_n\sim\mathrm{N}(0,n)$ を示す。$n=1$ は仮定そのものである。$S_{n-1}\sim\mathrm{N}(0,n-1)$ なら、$S_{n-1}$ は $Z_1,\dots,Z_{n-1}$ の関数なので $Z_n$ と独立で、定理 6.6 から $S_n=S_{n-1}+Z_n\sim\mathrm{N}(0,n-1+1)=\mathrm{N}(0,n)$ である。最後に定理 6.4 で $a=1/\sqrt n$、$b=0$ とすると $S_n/\sqrt n\sim\mathrm{N}(0,n/n)=\mathrm{N}(0,1)$ となる。
4. 6.3-4 $2X\sim\mathrm{N}(0,4)$ なので $P(2X>2)=P(X>1)=1-0.8413=0.1587$。$X_1+X_2\sim\mathrm{N}(0,2)$ なので$P(X_1+X_2>2)=P(Z>2/\sqrt2)=P(Z>1.414)\approx1-\Phi(1.41)=1-0.9207=0.0793$（正確には $0.0786$）。独立な2つの和の方が散らばりが小さいので、$2$ を超える確率は約半分になる。

§6.4 標準化した値の使い方と標準正規分布表

1. 6.4-1 $P(-1.2<Z<0.5)=\Phi(0.5)-\Phi(-1.2)=\Phi(0.5)-\{1-\Phi(1.2)\}=0.6915-0.1151=0.5764$。上側確率の表だけで書くと、$\Phi(0.5)=1-Q(0.5)$、$\Phi(-1.2)=Q(1.2)$ なので $1-Q(0.5)-Q(1.2)$ である。
2. 6.4-2 $P(\lvert Z\rvert <c)=0.90$ は外に $10\%$ を左右 $5\%$ ずつ残すので $c=z_{0.05}=1.645$ である。$P(Z>d)=0.90$ は $P(Z\le d)=0.10$ で、下側 $10\%$ 点なので $d=-z_{0.10}=-1.282$ である。
3. 6.4-3 $(99.2-100)/0.5=-1.6$、$(101.0-100)/0.5=2$ なので、規格外の割合は$P(Z<-1.6)+P(Z>2)=(1-0.9452)+(1-0.9772)=0.0548+0.0228=0.0776$ である（$\Phi$ を正確に使うと $0.0775$）。平均を $100.1$ にすると規格の両端は $100.1\pm0.9$ で、$0.9/0.5=1.8$ なので $2\{1-\Phi(1.8)\}=2\times0.0359=0.0718$（正確には $0.0719$）に下がる。平均を規格の中央へ動かすと、規格の端に近かった下側の裾の確率の減少（$0.0548\to0.0359$）が、上側の裾の確率の増加（$0.0228\to0.0359$）より大きいので、合計が小さくなる。
4. 6.4-4 $z=(85-55)/15=2$ なので $P(X\ge85)=1-\Phi(2)=0.0228$ で、人数の期待値は $400\times0.0228=9.1$ 人である。偏差値は $50+10\times2=70$。

§6.5 指数分布

1. 6.5-1 $F(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}=p$ を解くと $x=-\log(1-p)/\lambda$ である。$p=1/4$ で $Q_1=\log(4/3)/\lambda=0.2877/\lambda$、$p=3/4$ で $Q_3=\log4/\lambda=1.3863/\lambda$。中央値 $0.6931/\lambda$ からの距離は $Q_1$ 側が $0.405/\lambda$、$Q_3$ 側が $0.693/\lambda$ で、右側が長い。
2. 6.5-2 $k=0$ では $E[X^0]=1=0!/\lambda^0$ である。$k\ge1$ で $u=x^k$、$v=-\mathrm{e}^{-\lambda x}$ とする部分積分から

$$E[X^k]=\Bigl[-x^k\mathrm{e}^{-\lambda x}\Bigr]_0^\infty+\int_0^\infty kx^{k-1}\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d} x=\frac k\lambda\int_0^\infty x^{k-1}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d} x=\frac k\lambda E[X^{k-1}]$$

である。境界の項は $x=0$ で $0$、$x\to\infty$ で $x^k\mathrm{e}^{-\lambda x}\to0$ なので消える。$E[X^{k-1}]=(k-1)!/\lambda^{k-1}$ を仮定すると $E[X^k]=k!/\lambda^k$ となり、帰納法で示された。3. 6.5-3 $T_1=x$ を固定して $T_2>x$ となる確率 $\mathrm{e}^{-3x}$ を掛けて積分すると

$$P(T_1<T_2)=\int_0^\infty2\mathrm{e}^{-2x}\mathrm{e}^{-3x}\,\mathrm{d} x=2\int_0^\infty\mathrm{e}^{-5x}\,\mathrm{d} x=\frac25=0.4$$

である。命題 6.12 の $\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)=2/5$ と一致する。4. 6.5-4 寿命は $\mathrm{Ex}(0.2)$（年を単位）である。無記憶性から$P(X>8\mid X>3)=P(X>5)=\mathrm{e}^{-0.2\times5}=\mathrm{e}^{-1}=0.3679$ である。新品が $8$ 年を超えて使える確率は $P(X>8)=\mathrm{e}^{-1.6}=0.2019$ である。すでに3年使えた部品の方が8年を超える確率が高いのは、最初の3年で故障する場合がすでに除かれているからで、残り寿命の分布は新品と同じである。

§6.6 離散一様分布と連続一様分布

1. 6.6-1 値 $0,\dots,9$ は $\{1,\dots,10\}$ を $1$ ずらしたものなので、$N=10$ として期待値は $(10+1)/2-1=4.5$、分散は $(10^2-1)/12=99/12=8.25$ である。
2. 6.6-2 $(a+b)/2=10$、$(b-a)^2/12=3$ から $b-a=6$（$b>a$ なので正の根）で、$a+b=20$ と合わせて $a=7$、$b=13$ である。
3. 6.6-3 $f_X(x)=1$（$0<x<1$）、$f_Y(s-x)=1$（$0<s-x<1$、すなわち $s-1<x<s$）なので、式 (6.8) の被積分関数は $x$ が $(0,1)\cap(s-1,s)$ に入るとき $1$、それ以外で $0$ である。その区間の長さが密度で

$$f_S(s)=\begin{cases}s&(0\le s\le1)\\ 2-s&(1\le s\le2)\\ 0&(\text{それ以外})\end{cases}$$

の三角形の密度になる。$P(S\le1.5)=1-P(S>1.5)=1-\int_{1.5}^2(2-s)\,\mathrm{d} s=1-\frac12(0.5)^2=0.875$ である。4. 6.6-4 密度 $2x$ の累積分布関数は $F(x)=x^2$（$0\le x\le1$）で、逆関数は $F^{-1}(u)=\sqrt u$ である。定理 6.16 の (2) から $g(u)=\sqrt u$ とすればよい。確かめると、$0\le x\le1$ で $P(\sqrt U\le x)=P(U\le x^2)=x^2$ で、微分すると密度 $2x$ になる。