確認テストの解答

統計学の復習　第16章 §16.11

§16.1 実験計画法とフィッシャーの3原則

1. 16.1-1 無作為化は、処理の割り付けをくじで決めることで、未知の要因による偏りを期待値で $0$ にする。反復は、同じ処理を繰り返すことで誤差の分散を推定できるようにし、平均の差の分散も小さくする。局所管理は、条件の揃ったブロックの中で処理を比べることで、ブロックの間の違いを比較から取り除き、誤差の分散を小さくする。未知の交絡因子に対処するのは無作為化、既知の変動要因に対処するのは局所管理である。
2. 16.1-2 $\sum u_i=0$ は満たされている。$\sum u_i^2=2(6.25+2.25+0.25)=17.5$、$S_u^2=17.5/5=3.5$、$r=3$ なので、$V[\bar y_T-\bar y_C]=2\times3.5/3=7/3\approx2.33$ である（20通りの割り付けを全部書き出しても同じ値になる）。
3. 16.1-3 朝食をとるかどうかを研究者が割り付けていない観察研究なので、交絡因子を取り除けない。たとえば家庭の生活習慣（規則正しく生活し、家で勉強の時間を確保している家庭ほど朝食をとる）が朝食と成績の両方に関係していれば、朝食に効果がなくても同じ結果になる。因果を確かめるには、生徒を無作為に朝食をとる群ととらない群に割り付ける実験研究が要る（倫理的に難しい場合は、交絡因子を層別して比べる観察研究で補う）。
4. 16.1-4 完全無作為化で各群 $40$ のとき差の分散は $2\sigma^2/40=\sigma^2/20$。対の比較では $2\sigma^2(1-0.5)/r=\sigma^2/r$ なので、$\sigma^2/r=\sigma^2/20$ から $r=20$ 対（$40$ 単位）でよい。完全無作為化の $80$ 単位の半分である。

§16.2 検出力

1. 16.2-1 (a) 誤り。それは $1-\alpha$ の説明で、検出力は対立仮説が正しいときに帰無仮説を棄却する確率である。(b) 正しい。$z_\alpha$ が大きくなり、命題 16.5 (4) から全部の $\mu$ で検出力が下がる。(c) 誤り。第1種の過誤の確率は有意水準 $\alpha$ のまま変わらず、小さくなるのは第2種の過誤の確率 $\beta$ である。(d) 正しい。$\Phi(-z_\alpha)=\alpha$。
2. 16.2-2 $\sigma/\sqrt n=15/4=3.75$ で、棄却域は $\bar X\ge100+1.645\times3.75=106.17$ である。$\mu=106$ では $\Delta\sqrt n=(6/15)\times4=1.6$ なので、検出力は $\Phi(1.6-1.645)=\Phi(-0.045)=0.482$ である。境界 $106.17$ が真の平均 $106$ より上にあるので、検出力は $0.5$ をわずかに下回る。
3. 16.2-3 (16.5) で $\Phi(1.6-1.960)+\Phi(-1.6-1.960)=\Phi(-0.360)+\Phi(-3.560)=0.3594+0.0002=0.3596$ である。片側の $0.482$ より低い。両側検定は有意水準 $5\%$ を両側に $2.5\%$ ずつ分けるので、上側の境界が $z_{0.025}=1.960$ に上がり、上にずれた場合を見つける力が弱くなる。第2項はほぼ $0$ で、下側の棄却域は検出力にほとんど寄与しない。
4. 16.2-4 (1) $\mu=\mu_0$ で括弧の中は $-z_\alpha$ で、$\Phi(-z_\alpha)=1-\Phi(z_\alpha)=1-(1-\alpha)=\alpha$。(2) 括弧の中 $\sqrt n(\mu-\mu_0)/\sigma-z_\alpha$ は $\mu$ の増加関数で、$\Phi$ も増加関数なので、合成した検出力は $\mu$ について増加する。$\mu\to\infty$ で括弧の中は $+\infty$ に行くので $\Phi\to1$。$\mu<\mu_0$ では括弧の中は $-z_\alpha$ より小さいので $\alpha$ より小さい。(4) $\alpha$ を小さくすると上側点 $z_\alpha$ は大きくなるので、すべての $\mu$ で括弧の中が小さくなり、検出力は下がる。$\beta=1-$ 検出力は上がる。

§16.3 検出力の計算

1. 16.3-1 (16.4) で $\mu-\mu_0=\delta$ とし、$\Phi(\sqrt n\delta/\sigma-z_\alpha)\ge1-\beta=\Phi(z_\beta)$。$\Phi$ は狭義増加なので $\sqrt n\delta/\sigma-z_\alpha\ge z_\beta$、すなわち $\sqrt n\ge(z_\alpha+z_\beta)\sigma/\delta$。両辺は正なので2乗して (16.6)。$n$ は $1/\delta^2$ に比例するので、$\delta$ を $1/3$ にすると $n$ は $9$ 倍になる。
2. 16.3-2 両側なので $z_{0.005}=2.576$ を使い、$z_{0.1}=1.2816$、$\sigma/\delta=8/3$ から $n\ge\{(2.576+1.2816)\times8/3\}^2=10.287^2=105.8$。切り上げて $106$。
3. 16.3-3 (16.7) で両側の $z_{0.025}=1.960$、$z_{0.2}=0.8416$、$\sigma/\delta=2$ から、各群 $n\ge2\{(1.960+0.8416)\times2\}^2=2\times5.6032^2=62.79$。各群 $63$ 個である。
4. 16.3-4 $\sqrt{p_0q_0}=\sqrt{0.16}=0.4$、$\sqrt{p_1q_1}=\sqrt{0.21}=0.4583$、$z_{0.05}=1.645$、$z_{0.1}=1.2816$ を (16.9) に入れて、$n\ge\{(1.645\times0.4+1.2816\times0.4583)/0.1\}^2=\{(0.6579+0.5873)/0.1\}^2=12.452^2=155.06$。切り上げて $156$ 個。

§16.4 外れ値

1. 16.4-1 外れ値には、記録や測定の誤りによるものと、まれな事象や別の母集団からの混入による本物の値とがある。後者を削除すると、母集団の裾の性質や、調べるべき異常を見落とすことになる。基準を超えたかどうかだけでは2つを区別できないので、原因を調べてから扱いを決め、除いたならその事実と理由を報告する。
2. 16.4-2 $(n-1)/\sqrt n>3$ は $(n-1)^2>9n$、すなわち $n^2-11n+1>0$ と同値で、$n\ge1$ では $n>(11+\sqrt{117})/2=10.91$。最小の $n$ は $11$ で、$10/\sqrt{11}=3.015$ である。等号は Cauchy–Schwarz の等号条件から、$i$ 以外の偏差 $d_j$（$j\ne i$）がすべて等しいときに成り立つ。すなわち $n-1$ 個が同じ値で、1個だけが違う値のデータである。
3. 16.4-3 下位4個 $3,5,6,6$ の中央値は $Q_1=5.5$、上位4個 $7,8,9,25$ の中央値は $Q_3=8.5$、$\mathrm{IQR}=3$。柵は $5.5-4.5=1$ と $8.5+4.5=13$ で、$25$ が外れ値の候補。$\bar x=69/8=8.625$、$\sum x^2=925$ から偏差の2乗の和は $925-8\times8.625^2=925-595.125=329.875$、$s^2=329.875/7=47.125$、$s=6.865$ である。$25$ の $z$ の値は $(25-8.625)/6.865=2.39$ で、$\lvert z\rvert >3$ の基準では外れ値と判定されない。命題 16.7 の上限は $7/\sqrt8=2.475$ で、$n=8$ ではどの値も $3$ に届かない。
4. 16.4-4 最大値を限りなく大きくすると、平均は限りなく大きくなり、標準偏差も限りなく大きくなる。中央値は値の順位で決まり、最大値は中央の位置に来ないので変わらない。四分位範囲も、$n\ge5$ では $Q_3$ が最大値以外の値で決まるので変わらない。中央値と四分位範囲は頑健な指標である。

§16.5 正規性の確認

1. 16.5-1 $X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ なら $Z=(X-\mu)/\sigma\sim\mathrm{N}(0,1)$ で、$P(X\le\mu+\sigma c)=P(Z\le c)=\Phi(c)$。$c=\Phi^{-1}(p)$ とおくと $P(X\le\mu+\sigma\Phi^{-1}(p))=p$ なので、$X$ の $p$ 分位点は $\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)$ である。$x_{(i)}$ は $p_i$ 分位点の推定値なので、点 $(\Phi^{-1}(p_i),x_{(i)})$ は $(\Phi^{-1}(p_i),\mu+\sigma\Phi^{-1}(p_i))$ の近く、すなわち直線 $x=\mu+\sigma z$ の近くに並ぶ。
2. 16.5-2 $p_i=0.125,0.375,0.625,0.875$ で、正規スコアは $-1.1503,-0.3186,0.3186,1.1503$。$\sum z_i^2=2(1.3232+0.1015)=2.8494$、$\sum z_ix_{(i)}=1.1503(4.3-2.0)+0.3186(3.1-2.6)=2.6457+0.1593=2.8050$ で、傾き $b=2.8050/2.8494=0.984$。$\bar x=3.0$、$\sum x^2=38.86$ から $s^2=(38.86-36)/3=0.9533$、$s=0.976$ で、傾きは $s$ に近い。
3. 16.5-3 (a) 下に凸に曲がる（両端とも直線より上に来やすく、特に右端が大きく上に離れる）。(b) 左端が直線より下、右端が直線より上に出る S 字。(c) 左端が直線より上、右端が直線より下に来る、(b) と逆向きの S 字。
4. 16.5-4 $t$ 区間の中心にある $\bar X$ は、中心極限定理（第8章）によって、母集団が正規分布でなくても $n$ が大きければ正規分布に近づくので、区間の信頼係数は名目に近づく。母分散の区間は $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$ を使うが、これは正規性のもとでだけ成り立つ。$S^2$ の分散は母集団の尖度によって変わり、第11章で見たとおり、$n$ を増やしても正規分布での値 $2\sigma^4/(n-1)$ との比が $1$ に近づかないので、被覆確率は名目に戻らない。

§16.6 移動平均

1. 16.6-1 両端で6個ずつ、合わせて12個短くなるので $60-12=48$ 個。重みは中心の前後6か月目（両端の2か月）が $1/24$、間の11か月が $1/12$ で、和は $2/24+11/12=1$。
2. 16.6-2 3項移動平均は $12,\ 14,\ 14.33,\ 16.67,\ 17,\ 19$ の6個（時点2〜7）。4項の中心化移動平均は、時点3で $(5+14+12+16+7.5)/4=13.625$、以下 $14.875,\ 16.125,\ 17.375$ の4個（時点3〜6）。中心化移動平均は1期あたりちょうど $1.25$ ずつ増え、季節の上下が消えている。
3. 16.6-3 時点 $t$ の季節を $s_1,s_2,s_3,s_4$ の $s_3$ とすると（他の位置でも同じ）、(16.14) は $\frac14\bigl(\frac12s_1+s_2+s_3+s_4+\frac12s_1\bigr)=\frac14(s_1+s_2+s_3+s_4)=0$ である（$y_{t-2}$ と $y_{t+2}$ はどちらも季節 $s_1$）。3項移動平均では、たとえば $s=(-6,2,8,-4)$ のとき $s_2$ の位置で $(-6+2+8)/3=4/3\ne0$ となり、季節変動が残る。
4. 16.6-4 重みの2乗の和は $2\times(1/8)^2+3\times(1/4)^2=2/64+3/16=7/32$ なので、分散は $7\sigma^2/32=0.219\sigma^2$。単純な4項の $0.25\sigma^2$ より少し小さい。5個の値を使うからである。

§16.7 時系列データにおける周期変動

1. 16.7-1 加法モデルは季節変動と不規則変動を水準に足し、その大きさは水準によらない。乗法モデルは水準に掛け、成分の大きさが水準に比例する。売上のように水準が大きくなると季節の上下の幅も大きくなる系列には乗法モデルを使う。乗法モデルは対数をとると加法モデルになる。
2. 16.7-2 2年目の値 $103,114,122,113$ から $\hat S=(-7.0625,2.0,8.0,-2.9375)$ を引いて、$110.06,\ 112.00,\ 114.00,\ 115.94$。季節調整値はほぼ一定の割合で増えている。
3. 16.7-3 4つの平均は $(0.80+1.02+1.30+0.92)/4=4.04/4=1.01$ なので、各値を $1.01$ で割って $0.792,\ 1.010,\ 1.287,\ 0.911$。第3四半期の季節調整値は $156/1.287=121.2$（$156\times1.01/1.30=121.2$）。
4. 16.7-4 $y_t=T_tS_tI_t$、$y_{t-L}=T_{t-L}S_{t-L}I_{t-L}$ で、季節指数は周期 $L$ で繰り返すので $S_t=S_{t-L}$。比をとると $S_t$ が約分され、$y_t/y_{t-L}=(T_t/T_{t-L})(I_t/I_{t-L})$ となる。傾向の1年間の伸び $T_t/T_{t-L}$ と、2時点の不規則変動の比は消えずに残る。

§16.8 自己相関

1. 16.8-1 ラグ4では、同じ四半期どうし（第1と第1、第3と第3など）が組になる。季節変動が同じ符号で揃うので積が正になりやすく、$r_4$ が大きくなる。ラグ2では第1四半期（季節変動が負）と第3四半期（正）のように逆向きの季節が組になるので、季節変動の部分は打ち消し合い、$r_2$ は小さい。
2. 16.8-2 $\bar y=24/6=4$、偏差は $0,2,1,-1,-2,0$ で、$\sum d_t^2=10$。ラグ1の積の和は $0\cdot2+2\cdot1+1\cdot(-1)+(-1)(-2)+(-2)\cdot0=3$ で $r_1=0.3$、ラグ2の積の和は $0\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot(-2)+(-1)\cdot0=-4$ で $r_2=-0.4$。
3. 16.8-3 $V[y_t]=2\sigma^2/4=\sigma^2/2$。$y_{t+1}=(e_{t+1}+e_{t+2})/2$ と $e_{t+1}$ を共有するので $\mathrm{Cov}=\sigma^2/4$、$\rho(1)=(\sigma^2/4)/(\sigma^2/2)=1/2$。$y_{t+2}$ とは共有する $e$ が無いので $\rho(2)=0$。
4. 16.8-4 $V[y_t]=\phi^2V[y_{t-1}]+\sigma^2$（$e_t$ と $y_{t-1}$ は独立なので共分散の項は $0$）。$V$ が $t$ によらないので $v=\phi^2v+\sigma^2$、$v=\sigma^2/(1-\phi^2)$。$h\ge1$ で $y_{t+h}=\phi y_{t+h-1}+e_{t+h}$、$e_{t+h}$ は $y_t$ と独立なので $\mathrm{Cov}(y_t,y_{t+h})=\phi\,\mathrm{Cov}(y_t,y_{t+h-1})$。これを $h$ 回繰り返して $\mathrm{Cov}(y_t,y_{t+h})=\phi^hv$、$\rho(h)=\phi^h$。

§16.9 さまざまな指数

1. 16.9-1 Laspeyres 指数は、基準時点の価格と数量、比較時点の価格を使う。基準時点の買い物かごを比較時点に買い直すと費用が何倍になるかを表す。Paasche 指数は、比較時点の数量と、両時点の価格を使う。比較時点の買い物かごを基準時点の価格で買ったときに比べて、費用が何倍になったかを表す。
2. 16.9-2 $\sum p_0q_0=1000+1000+800=2800$、$\sum p_1q_0=1200+1050+720=2970$ で $P_L=2970/2800=1.0607$（$106.1$）。$\sum p_0q_1=750+1200+960=2910$、$\sum p_1q_1=900+1260+864=3024$ で $P_P=3024/2910=1.0392$（$103.9$）。$P_F=\sqrt{1.0607\times1.0392}=1.0499$（$105.0$）。値上がりした1番目の品目の数量が減り、値下がりした3番目の品目の数量が増えたので、$P_P<P_L$ になっている。
3. 16.9-3 (a) $109.2/103.0\times100=106.0$。(b) 実質の月給は $31.5/1.060=29.71$ 万円（$31.5\times103.0/109.2$）。実質の伸び率は $29.71/30.0-1=-0.96\%$ で、名目は $5\%$ 上がったが、物価が $6.0\%$ 上がったので実質では約 $1\%$ 下がった。
4. 16.9-4 品目が1つなら $w_{11}=1$ なので $1/P_P=p_0/p_1$、$P_P=p_1/p_0$。一方 $P_P=p_1q_1/(p_0q_1)=p_1/p_0$ で一致する。$P_L=p_1q_0/(p_0q_0)=p_1/p_0$ も同じで、$P_F=\sqrt{(p_1/p_0)^2}=p_1/p_0$。品目が1つなら数量の重みは約分されて消え、3つの指数はすべて価格比になる。