塾講師木下

文字がいくつもある式の因数分解で、次数がいちばん低い文字について整理するとうまくいく理由を、その文字について1次の場合と2次の場合に分け、例を解きながら説明しました。

2次式が因数分解できるかどうかを係数の式で判定する方法と、平方完成を使ってたすきがけなしで分解する手順、さらに分解した先の係数が整数になることの証明をまとめました。

ルート2が分数で表せないことを、教科書にある説明を細かく補った証明と、素因数2の個数の偶奇に注目する有名な証明の2通りで示しました。

0以上の整数 n について、ルート n が有理数になるのは n が平方数のときに限ることを、分母が1になることを示す2通りの方法で証明しました。

領域の中を点が動くときの最大値・最小値を、式を k とおいて直線や円を動かして求める解法が、なぜ正しいのかを、方程式と図形の関係から順に説明しました。

領域での最大・最小で等位線が境界に接する理由を、等高線と偏微分・勾配から説明し、接点を計算で求めるラグランジュの未定乗数法と、その使い方の注意点までをまとめました。

cos nθ が cos θ の多項式で書けることを、和積の公式から出る漸化式で示し、その多項式から cos 36° の値と正五角形の黄金比を求めるまでをまとめました。

関数を多項式で補間するとき、節点をチェビシェフ多項式の零点に置くと誤差の上界が最小になることを、補間誤差公式とモニック多項式の最大値の最小性から証明しました。

振動数のわずかに違う二つの音を重ねると音の大きさが周期的に増減する「うなり」を、和積の公式で式にし、うなりの回数が振動数の差になる理由を説明しました。

3本の杭に円盤を積み替えるハノイの塔の最小手数を、漸化式を立てて解くことで求め、64枚の円盤を移し終えるのに何年かかるかを計算しました。

ハノイの塔の最短手順で第何手にどの円盤が動くかは、手数を2進法で書くと読み取れます。定規数列とグレイコードとの対応を、証明をつけてまとめました。

1/2+1/4+1/8+… のように無限に足した和が有限の値になる理由を、等比数列の和の公式と極限の考え方から説明し、0.999…=1 とアキレスと亀の話に当てはめました。

定数係数の3項間漸化式を、特性方程式の2つの解を使って等比数列に帰着させて解く手順を、解が有理数・無理数・虚数・重解になる例で追い、項数の多い漸化式まで広げてまとめました。

定数係数の3項間漸化式と2階線形微分方程式が、特性方程式・解と係数の関係・重解・虚数解のすべてで対応することを、ずらしと微分の作用素の因数分解から説明しました。大学教養の水準です。

底が1に、指数が無限大に近づく形の極限を e の累乗で求める定理と、sin x を多項式で近似するマクローリン展開、n 階導関数を数学的帰納法で示す手順をまとめました。

整式を (x−a) の2乗で割った余りを求めるとき、代入だけでは条件が1本足りず、微分すると足りない1本が補える理由を、余りの自由度と接線の2つの見方から説明しました。

導関数が正だと分かっているのは区間の内側だけなのに、端点の値と比べた不等式を書いてよいのはなぜかを、平均値の定理を使って説明しました。

平均値の定理をロルの定理から証明し、端点まで含めた単調性の正当化、テイラーの定理とマクローリン展開、コーシーの平均値の定理、積分の平均値の定理へ広げてまとめました。

逆関数を x の式で書けないときでも、x=f(y) の両辺を x で微分すれば導関数が求まることを、sin x と tan x の逆関数を例にまとめました。

円や二次曲線の式を y について解かずに微分するときの記号の読み方、dy/dx が値をもたない点、陽関数に直すかどうかの判断、第2次導関数の計算をまとめました。

曲線に y′ と y″ まで合わせた円（曲率円）の中心と半径の公式を導き、近くの2本の法線の交点がその中心に近づくことを示します。道路のカーブの標識と縮閉線の話も添えました。

図形の量の最大・最小を微分で求める問題について、変数の変域の決め方、√の差の符号を有理化で調べてよい条件、場合分けの見つけ方、長さと角度のどちらを変数にとるかをまとめました。

円に内接する n 角形のうち面積が最大になるのは正 n 角形であることを、面積を中心角の sin の和に直し、上に凸な関数についての凸不等式を使って示します。

速さの違う2つの場所をまたいで進むときの最短時間の経路を微分で求め、その条件が光の屈折の法則と同じ式になることを、ホイヘンスの原理とフェルマーの原理から確かめます。

文字が2つ以上ある式の最大・最小を求めるときに、自由度を数え、消去や置き換えで式を整え、文字の固定・存在条件・有名不等式のどれで仕上げるかを決める手順をまとめました。

x の x 乗のように底と指数の両方に変数がある式を、対数を取って微分する手順と、その考え方が大小比較・連立方程式・限りなく続く積でも使えることをまとめました。

導関数の符号が変われば極値をとることを平均値の定理から証明し、逆に極値をとっても導関数の符号が前後で定まらない関数があることを、具体的な例で確かめました。

e の −x 乗と sin x の積や、log x を x で割った関数は、正確な縮尺で描くと形の特徴が見えなくなります。何が起きているのかと、見本の図を描くときの工夫をまとめました。

e の x 乗と多項式を比べる不等式は、差でなく比を微分すると1回で示せることがあります。その理由と、マクローリン展開、分子を組み替えて n! で割った級数の和を e で表す方法をまとめました。

関数とその逆関数の積分を並べたヤングの不等式を面積の図で確かめ、そこから重み付きの相加平均・相乗平均の関係、ヘルダーとミンコフスキーの不等式へ進む流れをまとめました。

関数を多項式で評価する問題で、0に近い値を代入するとうまくいく理由を、マクローリンの定理から説明しました。よく使う4つの関数の展開と、cos x の多項式近似のグラフも載せています。

一般項が求まらない漸化式の極限を平均値の定理で示す答案について、絶対値をとる順序、係数を1より小さい定数で押さえる理由、場合分けを片づける時機など、減点されやすい点を順に確かめました。

f(x+y)=f(x)f(y) などの関数方程式を代入で解く手順と、式だけでは有理数での値しか決まらず、微分可能性や連続性が必要になる理由をまとめました。

漸化式で決まる数列の極限を等比数列ではさむ方法が使えなくなるのは、グラフが直線 y=x に接するときです。その理由と、上から押さえる数列を自分で作って示す手順をまとめました。

偶関数・奇関数を対称な範囲で積分したときの公式を、グラフの面積に頼らず置換積分で証明し、同じく置換で示せる King Property を使って原始関数の求めにくい定積分を計算します。

sin x の n 乗を 0 から π/2 まで積分した値を漸化式で求め、はさみうちの原理を使って、有理数をかけ続けた積が π/2 に近づくことを示します。

定積分の区間の左右を入れ替えても値が変わらない性質（King Property）を、グラフの裏返しと置換積分の両方から説明し、足して2で割ると値が出る積分の見分け方をまとめました。

斜めの直線を軸にした回転体の体積を、軸に垂直に切る・傘型近似・図形ごと回すの3通りで求め、厚みの取り違えや回転の式の扱いなど、それぞれの注意点をまとめました。

回転体の体積を、図形の面積と重心が描く円周の長さの積で求める定理を、成り立つ理由・トーラスの体積・重心の逆算・斜回転体の傘型近似との関係とともにまとめました。

極座標の曲線の長さを扇形の弧の和で求めると短くなる理由と正しい公式、曲線に巻いた糸をほどくと先端が描く伸開線を、円・サイクロイド・カージオイドなどの例で調べました。

共役複素数や絶対値を含む方程式の解き方を、未知数を2つと数える見方、引き算で同値性が崩れる場面、絶対値の読み方、直線の方程式の2つの型、単位円周上の点の扱いに分けてまとめました。

1のn乗根が正n角形の頂点に並ぶことから始めて、はじめて1に戻る回数（位数）と原始n乗根、同じ論法による整数の余りの性質とフェルマーの小定理、積について閉じた有限集合までをまとめました。